ÉLASTICITÉ
Tenseur des déformations
Déformation d'un solide élastique
Transformation par déformation
Encyclopædia Universalis France
Un solide (S) subissant une déformation se transforme en un solide (S′) et un vecteur infiniment petit AB du solide (S) se retrouve en A′B′ après la transformation. La quantité scalaire ε = (A′B′ − AB)/AB est la dilatation ou extension unitaire du segment AB ; si ε est positif, on dit qu'il y a eu traction de AB ; s'il est négatif, il y a eu compression. Si les fonctions ui (i = 1, 2, 3) sont les composantes du déplacement AA′ du point A de coordonnées xi, et si l'on appelle Xi les coordonnées de A′, on a Xi − xi = ui (x1, x2, x3). Les déplacements correspondants Ui du point voisin B (composantes de BB′) sont représentées par les trois équations Ui = ui + ui,j dxj et, après déformation, les composantes de A′B′ sont dxi + ui,j dxj. Le tenseur du second ordre faisant passer de AB à A′B′, abstraction faite du déplacement AA′, est appelé tenseur des déformations en A et est noté {D}. Dans le repère (Ox1x2x3), ce tenseur est défini par ses neuf composantes ui,j qui sont les éléments de la matrice (ui,j) écrite en (8) du tableau, les indices i et j désignant respectivement les numéros des lignes et des colonnes. Pour faire apparaître la déformation abstraction faite de la translation AA′, il suffit de mener A′1B′1 équipollent à A′B′ par le point A. Sur AB et A′1B′1, portons respectivement les points N1 et N2 tels que AN1 = AN2 = 1. Le vecteur N1N2 est appelé vecteur déplacement angulaire ou plus simplement déplacement angulaire. Il a même mesure que l'angle (AN1AN2) exprimé en radians.
Déformations : équations
Encyclopædia Universalis France
Déplacement angulaire
Encyclopædia Universalis France
Déformation par glissement
Encyclopædia Universalis France
Considérons la facette (P) et un plan (Q) parallèle à (P) et infiniment voisin de (P) ; soit R l'intersection avec Q de la normale à la facette en A.
Glissement d'une facette
Encyclopædia Universalis France
Au cours de la déformation, ce plan (Q) glisse par rapport au plan (P), de sorte que la ligne de points matériels AR cesse d'être normale à la facette. Soit alors A′n′ la normale à la facette déformée (P′) ; le glissement de (Q) par rapport à (P) est mesuré par l'angle infiniment petit γ de A′n′ et A′R′. Mais l'angle γ ne précise pas la direction dans laquelle s'est produit le glissement de (Q) par rapport à (P). Il suffit alors de porter sur A′n′ et A′R′ les points n2 et n1 tels que A′n2 = A′n1 = 1. Le vecteur n2n1 a même mesure que l'angle γ exprimé en radians et pour direction celle du glissement de (Q) par rapport à (P). Ce vecteur n2n1 est, par définition, le glissement de la facette considérée. Il faut remarquer qu'il n'est pas modifié par un déplacement d'ensemble. Comme la dilatation et contrairement au déplacement angulaire, le glissement a toujours la même valeur, que la déformation soit pure ou non.
Déformation pure et rotation pure
Le tenseur {D} peut se mettre facilement sous la forme d'une somme de deux tenseurs {F} et {R}, les matrices correspondantes étant respectivement (εij) et (ωij),
Déformation et rotation pures
Encyclopædia Universalis France
Le tenseur {F} correspond à une déformation pure sans rotation, et le tenseur {R} à une rotation pure sans déformation, comme cela se produit dans le cas particulier d'un corps solide indéformable. Le tenseur {F} est symétrique, {R} est antisymétrique. Mais, si on considère seulement les déformations continues infiniment petites (d'un grand intérêt pratique), on arrive, en négligeant les infiniment petits du second ordre dans les expressions des εij et ωij, à :
Dans certains ouvrages, les termes ε23 = ε32, ε13 = ε31, ε12 = ε21 sont quelquefois notés g1, g2, g3 ou encore γ1/2, γ2/2, γ3/2 où les γi sont les glissements définis plus haut. De même ω23 = − ω32, ω13 = − ω31 et ω12 = − ω21 sont notés p, q et r par analogie avec les notations classiques des[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Michel KOTCHARIAN : ingénieur du génie maritime
Classification
Médias
Contrainte : valeur limite
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 1
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 2
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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- Écrit par Antoine PICON
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CONSTRUCTIONS MÉTALLIQUES
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DUHEM PIERRE (1861-1916)
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