ÉLASTICITÉ

Déformation d'un solide élastique

Un solide (S) subissant une déformation se transforme en un solide (S′) et un vecteur infiniment petit AB du solide (S) se retrouve en A′B′ après la transformation. La quantité scalaire ε = (A′B′ − AB)/AB est la dilatation ou extension unitaire du segment AB ; si ε est positif, on dit qu'il y a eu traction de AB ; s'il est négatif, il y a eu compression. Si les fonctions u_i (i = 1, 2, 3) sont les composantes du déplacement AA′ du point A de coordonnées x_i, et si l'on appelle X_i les coordonnées de A′, on a X_i − x_i = u_i (x₁, x₂, x₃). Les déplacements correspondants U_i du point voisin B (composantes de BB′) sont représentées par les trois équations U_i = u_i + u_i,j dx_j et, après déformation, les composantes de A′B′ sont dx_i + u_i,j dx_j. Le tenseur du second ordre faisant passer de AB à A′B′, abstraction faite du déplacement AA′, est appelé tenseur des déformations en A et est noté {D}. Dans le repère (Ox₁x₂x₃), ce tenseur est défini par ses neuf composantes u_i,j qui sont les éléments de la matrice (u_i,j) écrite en (8) du tableau, les indices i et j désignant respectivement les numéros des lignes et des colonnes. Pour faire apparaître la déformation abstraction faite de la translation AA′, il suffit de mener A′₁B′₁ équipollent à A′B′ par le point A. Sur AB et A′₁B′₁, portons respectivement les points N₁ et N₂ tels que AN₁ = AN₂  = 1. Le vecteur N₁N₂ est appelé vecteur déplacement angulaire ou plus simplement déplacement angulaire. Il a même mesure que l'angle (AN₁AN₂) exprimé en radians.

Considérons la facette (P) et un plan (Q) parallèle à (P) et infiniment voisin de (P) ; soit R l'intersection avec Q de la normale à la facette en A.

Au cours de la déformation, ce plan (Q) glisse par rapport au plan (P), de sorte que la ligne de points matériels AR cesse d'être normale à la facette. Soit alors A′n′ la normale à la facette déformée (P′) ; le glissement de (Q) par rapport à (P) est mesuré par l'angle infiniment petit γ de A′n′ et A′R′. Mais l'angle γ ne précise pas la direction dans laquelle s'est produit le glissement de (Q) par rapport à (P). Il suffit alors de porter sur A′n′ et A′R′ les points n₂ et n₁ tels que A′n₂ = A′n₁ = 1. Le vecteur n₂n₁ a même mesure que l'angle γ exprimé en radians et pour direction celle du glissement de (Q) par rapport à (P). Ce vecteur n₂n₁ est, par définition, le glissement de la facette considérée. Il faut remarquer qu'il n'est pas modifié par un déplacement d'ensemble. Comme la dilatation et contrairement au déplacement angulaire, le glissement a toujours la même valeur, que la déformation soit pure ou non.

Déformation pure et rotation pure

Le tenseur {D} peut se mettre facilement sous la forme d'une somme de deux tenseurs {F} et {R}, les matrices correspondantes étant respectivement (ε_ij) et (ω_ij),

Le tenseur {F} correspond à une déformation pure sans rotation, et le tenseur {R} à une rotation pure sans déformation, comme cela se produit dans le cas particulier d'un corps solide indéformable. Le tenseur {F} est symétrique, {R} est antisymétrique. Mais, si on considère seulement les déformations continues infiniment petites (d'un grand intérêt pratique), on arrive, en négligeant les infiniment petits du second ordre dans les expressions des ε_ij et ω_ij, à :

Dans certains ouvrages, les termes ε₂₃ = ε₃₂, ε₁₃ = ε₃₁, ε₁₂ = ε₂₁ sont quelquefois notés g₁, g₂, g₃ ou encore γ₁/2, γ₂/2, γ₃/2 où les γ_i sont les glissements définis plus haut. De même ω₂₃ = − ω₃₂, ω₁₃ = − ω₃₁ et ω₁₂ = − ω₂₁ sont notés p, q et r par analogie avec les notations classiques des composantes de la rotation instantanée d'un corps solide.

Les six paramètres ε_ij caractérisent la déformation pure ou intrinsèque, c'est-à-dire considérée en elle-même, abstraction faite du déplacement (ou translation) AA′ et de la rotation. Cette déformation intrinsèque est caractérisée par les variations des distances mutuelles des points de l'élément de volume considéré du corps, autrement dit par les dilatations des divers segments infiniment petits de l'élément de volume. Si ces six paramètres sont tous nuls en un point, il n'y a pas de déformation pure dans la petite portion de volume entourant ce point et réciproquement.

La somme θ = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ est un invariant, quel que soit le système d'axes considéré, et elle est appelée dilatation cubique unitaire (par unité de volume) due à la déformation en un point. Cette invariance est une propriété mathématique classique ; la trace de la matrice (ε_ij) ne dépend pas de la base.

Étude du tenseur {F} en un point

En menant, comme on l'a fait pour le tenseur des contraintes, dans la direction de chaque élément linéaire du solide dont le vecteur unitaire est u, un rayon vecteur AP = ρ u, où ρ = r/√ε_u|, où ε_u = u_iε_iju_j, on trouve que l'ensemble des points réels P, lorsque u tourne autour de A, est une surface d'équation ε_ijx_ix_j = ^± r² explicitée en (11). Elle est appelée quadrique des déformations en A. Les axes de cette quadrique sont les axes principaux de déformation en A et les trois plans correspondants, les plans principaux de déformation en A. Dans ce système d'axes, la matrice associée à {F} est diagonale ; les déformations transversales ε_ij (i ≠ j) sont nulles pour ces directions, et les allongements ε₁₁, ε₂₂, ε₃₃, notés dans ce cas ε₁, ε₂, ε₃, sont appelés allongements principaux en A. Les axes principaux de déformation demeurent perpendiculaires après déformation, et un parallélépipède, dont les faces sont parallèles aux plans principaux, reste, après déformation, un parallélépipède rectangle.

La connaissance de la quadrique des déformations permet de trouver géométriquement le module de l'allongement unitaire dans n'importe quelle direction.

Déformation homogène, déformation plane

La déformation est dite homogène si les fonctions u_i et U_i précédentes sont linéaires en x_k. Tous les termes du tenseur {D} sont alors des constantes. Quelle que soit la direction, la déformation est, dans ce cas, la même pour tous les points du corps déformé.

On dit que la déformation d'un corps est plane lorsqu'en tous les points de chaque perpendiculaire à un plan fixe (P) les déformations sont identiques et toutes parallèles à (P).

Conditions de compatibilité

Étant donné un solide déformé, les six paramètres ε_ij sont des fonctions continues des coordonnées x_k des points du corps. Ces fonctions ne peuvent être entièrement arbitraires ; il est, en effet, nécessaire que l'on puisse trouver des fonctions u_i (indépendantes des translations et des rotations subies antérieurement par le corps), telles que les ε_ij satisfassent aux définitions (9). En dérivant deux fois ces égalités par rapport à x₁, x₂, x₃ et en éliminant u₁, u₂, u₃, on trouve six relations dites conditions nécessaires de compatibilité. Elles sont écrites en (12). On montre que ces six conditions sont également suffisantes pour les corps simplement connexes, alors que, pour les corps multiplement connexes, on doit ajouter des conditions exprimant qu'il n'y a pas déplacement relatif, au cours de la déformation, des deux lèvres d'une coupure quelconque rendant le corps simplement connexe.

Comme on vient de le voir, un élément quelconque d'un corps peut être amené à sa position, sa forme et son orientation finales par la séquence des trois opérations suivantes appliquées à l'élément avant déformation :

– l'élément est déplacé par translation jusqu'à ce qu'un de ses points (son centre de gravité par exemple) occupe la position finale ;

– l'élément subit les déformations ε_ij et son orientation reste telle que les directions principales de déformation ne subissent aucune rotation (tenseur {F}) ;

– l'élément subit une rotation ω_ij qui l'amène à son orientation finale (tenseur {R}) ; c'est la rotation des directions principales de déformation qui est indépendante du choix des axes Ox₁, Ox₂, Ox₃.