ÉLASTICITÉ
Relations entre les contraintes et les déformations
Forces internes et déformations
Les forces intérieures dans un solide sont des actions s'exerçant de proche en proche ; autrement dit, une molécule du corps n'exerce d'actions que sur les molécules immédiatement voisines. Il en résulte que les déformations en un point d'un corps dépendent de l'état de contrainte en ce point et en ce point seulement ; il existe donc a priori une relation entre le tenseur des contraintes en un point et le tenseur des déformations en ce même point ; et cela en chaque point du solide.
Or, la translation et la rotation pure n'introduisent pas de contraintes dans le solide ; il s'ensuit que le tenseur {R} ne doit pas intervenir dans cette relation qui doit donc lier le tenseur des contraintes {C} au tenseur de déformation pure {F} seul.
Pour un corps élastique, il y a donc en un point une relation entre les σij et les εij, c'est-à-dire que la connaissance des six premières entraîne celle des six autres, et réciproquement ; il existe donc six relations de la forme σij = fij (εkl) où fij est la fonction particulière reliant εkl à σij. Les déformations étant par hypothèse infiniment petites, chacune de ces fonctions fij peut être remplacée par son développement limité au premier ordre ; on a ainsi un système de six relations de la forme :
Cas des corps homogènes et isotropes
Contraintes et déformations : relations
Encyclopædia Universalis France
Il est aisé de voir que, dans ces cas, les vingt et un coefficients d'élasticité se réduisent à deux. En effet, soit E et E′ les quadriques des contraintes et des déformations en un point d'un corps homogène et isotrope. Un plan principal de E constitue un plan de symétrie pour les contraintes ; l'isotropie du corps exige alors que ce plan soit également plan de symétrie pour la déformation. Tout plan principal de E est donc aussi plan principal de E′. Il en résulte que, en chaque point d'un corps homogène et isotrope, la quadrique des contraintes et celle des déformations ont mêmes directions principales. En prenant ces directions principales comme axes de coordonnées, les dilatations et contraintes principales ε1, ε2, ε3 et σ1, σ2, σ3 restent donc seules différentes de zéro. Les équations précédentes reliant les contraintes et les déformations se réduisent aux trois relations σi = λijεj explicitées en (13) du tableau et où, pour simplifier, les contraintes initiales sont supposées nulles.
Du fait de l'isotropie, on a : λij = λji d'où σi = αεi + β (εj + εk) avec i, j, ou k = 1, 2, 3 et i, j, k tous différents ; ces trois relations, explicitées en (14), ne contiennent plus que deux coefficients d'élasticité α et β. Elles peuvent encore se mettre sous la forme σi = λθ + 2μ εi développée en (15) avec λ = β et μ = α − β. Les deux coefficients λ et μ sont les coefficients d'élasticité[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Michel KOTCHARIAN : ingénieur du génie maritime
Classification
Médias
Contrainte : valeur limite
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 1
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 2
Encyclopædia Universalis France
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