ÉLASTICITÉ
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Le problème général de l'élasticité
Détermination des déplacements, des déformations et des contraintes
Un corps élastique résiste en se déformant aux actions de surface auxquelles il est soumis, et des contraintes apparaissent dans ce corps ; les actions de surface étant données, quelles sont, pour tous les points du corps, les déformations, les déplacements et les contraintes ?
Équations
Encyclopædia Universalis France
Si le champ des déplacements ui(xk) a été déterminé, les déformations et les contraintes s'en déduisent immédiatement par les formules du tableau. Inversement, si les déformations ou les contraintes ont été déterminées, on pourra en déduire les déplacements par les formules (19) et (20) du tableau obtenues en intégrant les équations (9) et en passant par l'intermédiaire des relations (10) du tableau. Dans ces relations, les indices zéro sont relatifs à un point origine O quelconque, et les intégrales sont étendues à une ligne quelconque joignant O à M. Ces déplacements ne sont définis qu'à une rotation et une translation près.
Équations aux déplacements
Supposons les déplacements infiniment petits. En chaque point intérieur du corps, il est nécessaire que les fonctions u1, u2, u3 soient telles que les contraintes qui y apparaissent satisfassent aux trois équations d'équilibre (5), et cette condition est suffisante. On obtiendra donc les équations générales portants sur u1, u2, u3 en remplaçant, dans les équations d'équilibre, les valeurs σij en fonction des uk, c'est-à-dire les valeurs (15) et (16), compte tenu des relations (9). On est conduit alors aux trois équations (21) où
Équations aux déformations et équations aux contraintes
Les équations devant être satisfaites en tous les points du corps seront au nombre de neuf : les six équations de compatibilité (12) et les trois équations obtenues en remplaçant les σij par leurs valeurs en fonction des ε11, ε22, ε33 dans les trois équations de l'équilibre (5). Les trois conditions de surface s'obtiennent immédiatement à partir des équations (4). Ces douze égalités sont nécessaires et suffisantes pour les corps simplement connexes. Pour les corps multiplement connexes il y a lieu d'ajouter les conditions spéciales dont il a été question précédemment.
Les équations aux contraintes sont au nombre de neuf : les trois équations d'équilibre (5) et les six équations obtenues en remplaçant dans les équations de compatibilité (12) les ε11, ε22, ε33 par leurs valeurs en fonction des σij. On obtient les équations de Beltrami avec la même réserve que ci-dessus pour les corps multiplement connexes.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Michel KOTCHARIAN : ingénieur du génie maritime
Classification
Médias
Contrainte : valeur limite
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 1
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 2
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ARCHITECTURE (Thèmes généraux) - Architecture, sciences et techniques
- Écrit par Antoine PICON
- 7 917 mots
- 6 médias
...les architectes. La construction constitue simplement l'un des terrains d'application de la résistance des matériaux et de la théorie mathématique de l' élasticité sur laquelle elle repose en grande partie. Née dans les années 1820-1830 des efforts conjugués de savants et d'ingénieurs comme Navier, Cauchy,... -
CONSTRUCTIONS MÉTALLIQUES
- Écrit par François CIOLINA
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...propriété de ne pouvoir contribuer à la résistance mécanique que s'ils sont tendus. Les câbles présentent, dans le cas de systèmes toronnés, des modules d' élasticité apparents (module de la barre équivalente en traction) plus faibles que celui de l'acier et variables avec la longueur et la tension des... -
DUHEM PIERRE (1861-1916)
- Écrit par Michel PATY
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Duhem manifesta un intérêt marqué pour l' hydrodynamique et l'élasticité, faisant usage dans ces domaines des résultats de la thermodynamique (Recherches sur l'hydrodynamique, 1903-1904, Recherches sur l'élasticité, 1906). Il s'intéressa en particulier à la propagation des ondes... -
ÉLASTINE
- Écrit par William HORNEBECK et Ladislas ROBERT
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Un tissu animal élastique est défini comme un tissu riche en élastine, possédant de ce fait des propriétés physiques similaires à celles du caoutchouc. Le ligament large de la nuque des ongulés et leurs cordes vocales, l'aorte et les artères pulmonaires de tous les primates sont considérés comme...
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Voir aussi
- MATÉRIAUX SCIENCE DES
- TENSEURS
- HOOKE LOI DE
- EFFORTS, mécanique
- FORCE, physique
- PHOTOÉLASTICIMÉTRIE
- CISAILLEMENT
- HOMOGÉNÉITÉ
- SOLIDE MÉCANIQUE DU
- MOHR CERCLES DE
- LAMÉ COEFFICIENTS DE
- MISÈS CRITÈRE DE VON
- LIMITE ÉLASTIQUE
- DÉFORMATIONS, mécanique
- DILATATION, mécanique
- DÉPLACEMENT ANGULAIRE
- COULOMB MODULE DE ou MODULE DE CISAILLEMENT ou MODULE DE GLISSEMENT
- CAQUOT CRITÈRE DE
- CONTRAINTES, mécanique
- COMPRESSION, physique
- GLISSEMENT
- CLAPEYRON THÉORÈME DE
- TENSION, mécanique
- RÉCIPROCITÉ THÉORÈME DE
- POISSON COEFFICIENT DE
- TRESCA CRITÈRE DE
- YOUNG MODULE DE ou MODULE D'ÉLASTICITÉ LONGITUDINALE
- TRACTION, science des matériaux
- ALLONGEMENT, science des matériaux
- PLASTICITÉ
