ÉLASTICITÉ
Le problème général de l'élasticité
Détermination des déplacements, des déformations et des contraintes
Un corps élastique résiste en se déformant aux actions de surface auxquelles il est soumis, et des contraintes apparaissent dans ce corps ; les actions de surface étant données, quelles sont, pour tous les points du corps, les déformations, les déplacements et les contraintes ?
Équations
Encyclopædia Universalis France
Si le champ des déplacements ui(xk) a été déterminé, les déformations et les contraintes s'en déduisent immédiatement par les formules du tableau. Inversement, si les déformations ou les contraintes ont été déterminées, on pourra en déduire les déplacements par les formules (19) et (20) du tableau obtenues en intégrant les équations (9) et en passant par l'intermédiaire des relations (10) du tableau. Dans ces relations, les indices zéro sont relatifs à un point origine O quelconque, et les intégrales sont étendues à une ligne quelconque joignant O à M. Ces déplacements ne sont définis qu'à une rotation et une translation près.
Équations aux déplacements
Supposons les déplacements infiniment petits. En chaque point intérieur du corps, il est nécessaire que les fonctions u1, u2, u3 soient telles que les contraintes qui y apparaissent satisfassent aux trois équations d'équilibre (5), et cette condition est suffisante. On obtiendra donc les équations générales portants sur u1, u2, u3 en remplaçant, dans les équations d'équilibre, les valeurs σij en fonction des uk, c'est-à-dire les valeurs (15) et (16), compte tenu des relations (9). On est conduit alors aux trois équations (21) où
Équations aux déformations et équations aux contraintes
Les équations devant être satisfaites en tous les points du corps seront au nombre de neuf : les six équations de compatibilité (12) et les trois équations obtenues en remplaçant les σij par leurs valeurs en fonction des ε11, ε22, ε33 dans les trois équations de l'équilibre (5). Les trois conditions de surface s'obtiennent immédiatement à partir des équations (4). Ces douze égalités sont nécessaires et suffisantes pour les corps simplement connexes. Pour les corps multiplement connexes il y a lieu d'ajouter les conditions spéciales dont il a été question précédemment.
Les équations aux contraintes sont au nombre de neuf : les trois équations d'équilibre (5) et les six équations obtenues en remplaçant dans les équations de compatibilité (12) les ε11, ε22, ε33 par leurs valeurs en fonction des σij. On obtient les équations de Beltrami avec la même réserve que ci-dessus pour les corps multiplement connexes.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Michel KOTCHARIAN : ingénieur du génie maritime
Classification
Médias
Contrainte : valeur limite
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 1
Encyclopædia Universalis France
Contraintes, 2
Encyclopædia Universalis France
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