CARTAN ÉLIE (1869-1951)

Élie Cartan fut l'un des plus grands mathématiciens de son époque. Il possédait une intuition géométrique remarquable, aidée par une très grande aptitude à dominer les calculs les plus complexes. Il fut également un excellent professeur. Son œuvre considérable présente une grande unité ; elle gravite principalement autour de la théorie des groupes de Lie, systèmes différentiels, « groupes infinis » et de leurs applications à la géométrie différentielle ainsi qu'à la mécanique. É. Cartan fut un précurseur et, dans beaucoup de domaines, il fut à l'origine du développement des mathématiques modernes.

Étude des groupes de Lie et applications géométriques

Élie Cartan, né à Dolomieu (Isère) et mort à Paris, fut élève de l'École normale supérieure, acheva sa thèse en 1894, puis enseigna aux universités de Montpellier, Lyon, Nancy et Paris. Après sa retraite en 1940, il eut encore une grande activité scientifique et continua à enseigner à l'École normale supérieure de Sèvres. Il était le père du mathématicien Henri Cartan.

Les premiers travaux de Cartan (et notamment sa thèse), à la suite de ceux de Lie et de Killing, de nature purement algébrique, sont consacrés à ce qu'on appelle maintenant les algèbres de Lie (ce qui revient à une étude locale des groupes de Lie). Cartan établit la classification des algèbres de Lie simples sur le corps des complexes (quatre classes plus cinq algèbres exceptionnelles). Il étudie les algèbres de Lie semi-simples et montre qu'elles sont caractérisées par une forme quadratique non dégénérée. Ensuite, il détermine les représentations linéaires irréductibles des algèbres de Lie semi-simples, ce qui lui permet notamment de découvrir les représentations spinorielles des algèbres de Lie orthogonales (on connaît l'importance de ces théories en physique). En 1914, Cartan établit la classification des algèbres de Lie simples sur le corps des réels.

Cartan applique la théorie des groupes de Lie à la géométrie différentielle ; en 1910, il utilise les équations de structure de ces groupes pour établir une théorie du repère mobile qui étend les résultats de Frenet et Darboux à un espace homogène quelconque (c'est-à-dire un espace sur lequel opère transitivement un groupe de Lie G, ce qui est équivalent à E = G/H, H sous-groupe fermé de G) ; il étudie ainsi les invariants différentiels et le problème de la déformation des sous-variétés de E.

En 1922, Cartan (en relation avec la relativité), introduit la notion d'« espace généralisé » ou « non holonome » (comprenant notamment les espaces homogènes et riemanniens) : il « attache » à chaque point d'une variété différentiable un espace homogène d'un groupe G et « raccorde » entre eux ces espaces ; c'est la théorie des connexions (d'où les notions de courbure, torsion, groupe d'holonomie) ; en particulier la théorie des espaces à connexion euclidienne, affine, projective, conforme est développée. Depuis l'introduction des espaces fibrés qui a permis une formulation moderne de la notion de connexion (en particulier des « connexions de Cartan »), ces questions sont au cœur de la géométrie différentielle contemporaine.

Parmi les travaux les plus importants en géométrie de Cartan, figurent les espaces symétriques (en particulier les espaces riemanniens symétriques). Cartan a publié un livre et de nombreux mémoires sur la géométrie riemannienne.

C'est à partir de ces travaux que É. Cartan retourne à l'étude des groupes de Lie (cette fois du point de vue global) ; il déduit des propriétés topologiques globales des groupes simples, compacts ou non, à partir de celles des espaces symétriques. Il détermine notamment les nombres de Betti d'un espace symétrique à groupe d'automorphismes compact (il ramène ce problème à un problème algébrique).[...]