BOREL ÉMILE (1871-1956)

Théorie des fonctions

Sommation des séries divergentes.L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u_n est le terme général d'une série numérique, posons s_n = u₀ + ... + u_n ; soit de plus

Si la série :est convergente pour a assez grand et si la somme m(a) tend vers une limite s pour a tendant vers l'infini, on dit que la série de terme général u_n est sommable, de somme généralisée s. Le procédé de sommation ainsi défini est linéaire et généralise la sommation usuelle, car toute série convergente est sommable avec la même somme généralisée. Indiquons que la théorie s'étend au cas d'une suite de « poids » p₀(a), ..., p_n(a), ... satisfaisant aux seules conditions

Théorie des ensembles et mesure des ensembles.Le premier, Borel définit les ensembles de nombres réels « de mesure nulle », comme pouvant être, quel que soit ε> 0, recouvert par une famille dénombrable de segments dont la somme des longueurs est inférieure à ε. Il construisit la classe d'ensembles, appelés de nos jours boréliens, qu'on peut définir à partir des ensembles ouverts en itérant indéfiniment les opérations de réunion dénombrable et de « différence » A – B = A ∩ B′ (où B′ est le complémentaire de B) et montra que l'on peut définir pour ces ensembles une mesure additivement dénombrable, généralisant la longueur des intervalles. Ces notions servirent de point de départ à toute une série de travaux sur la classification des ensembles de points et permirent à Lebesgue de construire sa célèbre théorie de l'intégration ; remarquons qu'on n'est pas très loin des ensembles mesurables les plus généraux (au sens de Lebesgue) puisqu'un tel ensemble est la réunion d'un ensemble borélien et d'un ensemble de mesure nulle !

Borel a aussi essayé d'étudier de manière fine les ensembles de mesure nulle, en introduisant la notion de raréfaction ; l'idée fondamentale est d'associer à un tel ensemble des séries convergentes à termes positifs et d'étudier la rapidité de convergence de ces séries. Cependant, il ne semble pas que Borel ait obtenu ici des résultats très généraux.

Séries de Taylor.Borel étudia l'influence de la nature arithmétique des coefficients d'une série entière sur la nature de sa somme ; ainsi, il établit qu'une fonction méromorphe n'a une série de Taylor à coefficients entiers que si c'est une fraction rationnelle. Dans une direction tout à fait différente, il fut le premier à faire une étude probabiliste des séries entières dont les coefficients sont des nombres aléatoires indépendants.

Autres résultats. Une des découvertes les plus sensationnelles de Borel est celle des fonctions monogènes ou quasi analytiques, qui conduit à des élargissements considérables de la théorie des fonctions analytiques. Il a étudié les fonctions entières en définissant les notions désormais classiques de croissance régulière et d'ordre ; ces recherches lui permirent de donner la première démonstration élémentaire (i.e. n'utilisant pas les propriétés de la fonction modulaire) du « grand théorème de Picard » (fonctions analytiques – Fonctions d'une variable complexe). Parmi de nombreux autres résultats, nous choisirons de terminer sur le beau théorème qui affirme qu'étant donné une suite quelconque (a_n) de nombres réels, il existe une fonction indéfiniment différentiable f(x) définie sur R et admettant, pour tout n, a_n comme dérivée[...]