PICARD ÉMILE (1856-1941)

Groupes discontinus

On sait que les substitutions modulaires :

où α, β, γ, δ sont des entiers réels et où αδ − βγ = 1, forment un groupe discontinu d'applications holomorphes du demi-plan :

sur lui-même. Dans le groupe de Picard, opérant sur le plan lui-même, les entiers α, β, γ, δ sont complexes ; pour rendre ce groupe discontinu, une note au Bulletin de la Société mathématique de France (S.M.F.), du 7 mars 1884, le prolonge, comme suit, du plan de la variable complexe z ou plan de base, au demi-espace qu'il limite, rapporté à z = ξ + iη et à une cote > 0, autrement dit aux trois variables réelles ξ, η, ζ.

Comme une substitution S du groupe transforme une circonférence du plan de base en une autre, et deux circonférences orthogonales en deux autres circonférences orthogonales, elle transforme le réseau orthogonal à la circonférence imaginaire, section par le plan de base de la sphère-point (ξ, η, ζ), en le réseau orthogonal à une autre circonférence imaginaire, section par le plan de base d'une autre sphère-point (ξ′, η′, ζ′) ; alors, la formule :

définit le prolongement ûS de S au demi-espace.

Ce groupe de Picard est lié à la réduction modulaire des formes hermitiennes :

x et y étant des variables complexes, a et c des constantes réelles, b une constante complexe ; si cette forme est définie, h(z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence imaginaire, section d'une sphère-point (ξ, η, ζ) ; ce point, dit représentatif de la forme h, n'est invariant que par un nombre fini de substitutions ûS puisque celles-ci forment un groupe discontinu ; autrement dit, h n'est invariante que par un nombre fini de substitutions modulaires à coefficients complexes.

Si au contraire h est indéfinie, h(z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence réelle : celle de rayon 1 ayant l'origine pour centre dans le cas le plus simple h(x, y) = xx̄ − yȳ ; cette circonférence peut être conservée par une infinité de substitutions S formant un groupe fuchsien. Dans un mémoire communiqué aux Acta mathematica de 1882, Picard renouvelle cette idée en prenant h hermitienne indéfinie à trois variables, et obtient les groupes hyperfuchsiens ; de même que Poincaré construit des fonctions méromorphes d'une variable invariante par les substitutions d'un groupe fuchsien, automorphes pour ce groupe comme on dit aujourd'hui, deux d'entre elles étant liées algébriquement, de même Picard construit des fonctions méromorphes de deux variables automorphes pour un groupe hyperfuchsien, trois d'entre elles étant liées algébriquement.

On sait d'autre part que, parmi les fonctions automorphes pour des groupes fuchsiens particuliers, figure la fonction u(x) obtenue par inversion de la relation :

où ω et ω′ sont deux fonctions de la forme :

et les ? pris parmi 0, 1, u, ∞. Exploitant cette idée dans son mémoire paru aux Acta mathematica de 1883, Picard aboutit à des fonctions automorphes u(x, y), v(x, y) pour certains groupes hyperfuchsiens par inversion des relations :

où ω, ω′, ω″ sont trois fonctions de la forme :

les exposants α, β, λ, μ étant convenablement choisis et les ? pris parmi 0, 1, u, v, ∞.