PICARD ÉMILE (1856-1941)
Groupes discontinus
On sait que les substitutions modulaires :
où α, β, γ, δ sont des entiers réels et où αδ − βγ = 1, forment un groupe discontinu d'applications holomorphes du demi-plan :
Comme une substitution S du groupe transforme une circonférence du plan de base en une autre, et deux circonférences orthogonales en deux autres circonférences orthogonales, elle transforme le réseau orthogonal à la circonférence imaginaire, section par le plan de base de la sphère-point (ξ, η, ζ), en le réseau orthogonal à une autre circonférence imaginaire, section par le plan de base d'une autre sphère-point (ξ′, η′, ζ′) ; alors, la formule :
Ce groupe de Picard est lié à la réduction modulaire des formes hermitiennes :
Si au contraire h est indéfinie, h(z, 1) = 0 est l'équation dans le plan de base d'une circonférence réelle : celle de rayon 1 ayant l'origine pour centre dans le cas le plus simple h(x, y) = xx̄ − yȳ ; cette circonférence peut être conservée par une infinité de substitutions S formant un groupe fuchsien. Dans un mémoire communiqué aux Acta mathematica de 1882, Picard renouvelle cette idée en prenant h hermitienne indéfinie à trois variables, et obtient les groupes hyperfuchsiens ; de même que Poincaré construit des fonctions méromorphes d'une variable invariante par les substitutions d'un groupe fuchsien, automorphes pour ce groupe comme on dit aujourd'hui, deux d'entre elles étant liées algébriquement, de même Picard construit des fonctions méromorphes de deux variables automorphes pour un groupe hyperfuchsien, trois d'entre elles étant liées algébriquement.
On sait d'autre part que, parmi les fonctions automorphes pour des groupes fuchsiens particuliers, figure la fonction u(x) obtenue par inversion de la relation :
et les ? pris parmi 0, 1, u, ∞. Exploitant cette idée dans son mémoire paru aux Acta mathematica de 1883, Picard aboutit à des fonctions automorphes u(x, y), v(x, y) pour certains groupes hyperfuchsiens par inversion des relations :
Les fonctions algébriques et leurs intégrales
Picard aborda le domaine des fonctions algébriques et de leurs intégrales par une note aux C.R.A.S., du 21 février 1881, sur les intégrales abéliennes :
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
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