ENGRENAGES
Les engrenages sont des systèmes mécaniques qui permettent la transformation d'un mouvement de rotation en un autre mouvement de rotation, les deux rotations s'effectuant autour d'axes fixes l'un par rapport à l'autre. Ces axes peuvent être parallèles, concourants ou quelconques. Chargés de transmettre à l'arbre d'entrée du système récepteur l'énergie disponible sur un « axe moteur », les engrenages doivent résister aux brusques variations de régime et fonctionner de telle sorte que les vitesses angulaires des deux arbres restent dans un rapport constant. On exposera ici l'étude géométrique de cette dernière condition.
Surfaces primitives
Étant donné un repère de référence que l'on notera (O), repère lié à un bâti, et deux solides S1 et S2 tournant autour d'axes fixes par rapport à (O) : Δ0,1, Δ0,2, on recherche les surfaces de contact Σ1 et Σ2 de S1 et de S2 pour qu'une rotation de S1 entraîne une rotation de S2 (cf. cinématique).
On définira les mouvements des solides S1 et S2 (roues) par rapport au repère (O) par les torseurs distributeurs des vitesses qui leur sont associés, et que l'on note {01} et {02}.
La vitesse angulaire ω 0i du solide i (i = 1 ou 2) est la somme géométrique du torseur distributeur {0i} ; et, comme les torseurs distributeurs obéissent à une loi de Chasles sur leurs indices, le taux de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 est :
De manière générale, étant donné deux solides S1 et S2 en mouvement l'un par rapport à l'autre, on peut définir le champ des vitesses, par rapport au solide S1, des points liés au solide S2, et l'on sait que ce champ des vitesses est le champ des moments du torseur {12} ; pour cette raison, le vecteur de champ (vecteur vitesse) est le même en tout point de l'axe du torseur distributeur {12}, et c'est sur cet axe qu'il possède un module minimal.
Il convient donc de rechercher l'axe central Δ1,2 du torseur distributeur des vitesses {21}, c'est-à-dire l'ensemble des points Q tels que le vecteur de champ en Q, MQ{12}, soit parallèle à s {21}. Pour cela, on choisit en premier lieu un repère (O) particulier, permettant des calculs simples, et que l'on construit de la façon suivante.
Engrenages : figure 1
Encyclopædia Universalis France
Soit Oz un axe porté par la perpendiculaire commune aux axes Δ0,1 et Δ0,2 et coupant ces derniers respectivement aux points A et B, choisis de telle façon que leurs coordonnées soient respectivement (0, 0, − h), et (0, 0, h). Les vecteurs unitaires x et y seront portés par les bissectrices des angles formés par les projections, sur le plan médiateur de AB, des axes Δ0,1 et Δ0,2 . Les vitesses angulaires peuvent donc s'écrire sous la forme :
Appelons x, y, z les coordonnées de Q(OQ = xx + yy + zz) ; il vient :
Les composantes de MQ sur le repère (O) particulier sont :
L'axe central est défini par les équations :
L'axe central de {21} est donc perpendiculaire en M à la perpendiculaire commune aux axes centraux Δ0,1 et Δ0,2.
Cas particuliers importants
1. Si les axes centraux Δ0,1 et Δ0,2 sont parallèles, α = 0 ; les équations de l'axe central du torseur {21} sont alors :
Engrenages : figure 2
Encyclopædia Universalis France
Engrenages : figure 3
Encyclopædia Universalis France
Engrenages : figure 4
Encyclopædia Universalis France
L'axe central Δ1,2 est, dans ce cas, l'axe instantané de rotation de {21}. 2. Si les axes centraux sont concourants, α ≠ 0 et h = 0 ; les équations de l'axe central du torseur {21} s'écrivent :
L'axe central est alors l'axe instantané de rotation {21}.
Cas général
Pour simplifier l'écriture, on notera désormais Δ au lieu de Δ1,2. Dans le cas général, où α et h ne sont nuls ni l'un ni l'autre, le moment en un point Q de l'axe central du torseur {21} n'est pas nul et Δ est l'axe instantané de viration (cf. cinématique) du mouvement[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Étienne GAIGNEBET : ingénieur des Arts et Métiers, maître assistant au département de mécaniquedu conservatoire national des Arts et Métiers (C.N.A.M.), ingénieur des Arts et Métiers
Classification
Médias
Engrenages : figure 1
Encyclopædia Universalis France
Engrenages : figure 2
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Engrenages : figure 3
Encyclopædia Universalis France
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