ENSEMBLES THÉORIE DES
Relations
Produit cartésien
Le couple
Soit E et F deux ensembles. Pour x ∈ E et y ∈ F, on introduit un nouvel objet mathématique, le couple de premier terme x et de second terme y, défini par le symbole :
On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, l' ensemble des couples ayant pour premier terme un élément de E et pour second terme un élément de F. Par exemple, si E = {a, b, c} et F = {A, B} sont des ensembles à trois et deux éléments respectivement, l'ensemble E × F a six éléments qui sont :
Justifions la terminologie de cartésien. Le choix de deux axes de coordonnées dans le plan de la géométrie élémentaire permet d'identifier l'ensemble des points du plan à l'ensemble R × R = R2 des couples de nombres réels, au point M correspondant le couple ayant pour premier terme l'abscisse de M et pour second terme son ordonnée ; c'est le principe de la géométrie analytique de Descartes, chez qui apparaît pour la première fois la notion mathématique de couple.
De nos jours, on définit souvent ainsi le plan de la géométrie élémentaire ; dans ce qui suit, cette identification sera toujours faite.
Représentations graphiques
Représentation cartésienne
Encyclopædia Universalis France
On représente souvent (représentation dite cartésienne) un ensemble produit E × F par l'ensemble des points d'un rectangle (surtout ne pas confondre avec les diagrammes de Carroll !), les ensembles E et F étant représentés par deux côtés perpendiculaires de ce rectangle ; un sous-ensemble A de E × F est alors représenté par un sous-ensemble de ce rectangle.
Dans le cas d'ensembles finis, on peut faire le tableau donnant les éléments de l'ensemble produit ou utiliser une représentation par des points du plan (cf. pour l'exemple ci-dessus). Pour représenter les sous-ensembles, on peut indiquer leurs éléments sur la représentation, mais on peut aussi utiliser la représentation sagittale, dont voici le principe : on représente le couple (x, y) par deux points (appelés x et y) réunis par une flèche allant de x vers y ; dans le cas particulier d'un couple (x, x), on dessine une boucle fermée allant de x à x. Sur la figure, on donne les représentations cartésienne et sagittale du sous-ensemble :
Représentation par les points du plan
Encyclopædia Universalis France
Représentation cartésienne et sagittale
Encyclopædia Universalis France
Relations binaires
Soit E et F des ensembles. Une relation de source E et but F est une propriété sur l'ensemble produit E × F, c'est-à-dire une propriété des couples (x, y), x ∈ E et y ∈ F. Ainsi une relation définit un sous-ensemble de E × F, appelé son graphe, formé des couples pour lesquels la relation est vraie (cf. chap. 1). Réciproquement, tout sous-ensemble A ⊂ E × F définit une relation de source E et de but F, à savoir la propriété :
Exemples
Relation la voyelle x figure dans l'écriture en français du chiffre y
Encyclopædia Universalis France
(1) Sur un ensemble E, la relation d'égalité « x = y » a pour graphe l'ensemble des couples (x, x), x ∈ E ; cet ensemble est appelé la diagonale de l'ensemble E × E. (2) Prenons pour E l'ensemble des quatre voyelles {a, e, i, o} et pour F l'ensemble des quatre premiers chiffres {1, 2, 3, 4} ; la figure indique les représentations cartésienne et sagittale de la relation « la voyelle x figure dans l'écriture en langue française du chiffre y ». Par exemple (a, 4) appartient au graphe (car a est dans quatre), mais (a, 3) ne lui appartient pas. (3) Prenons E = F = {1, 2, 3, 4, } et la relation sur E « x + y est divisible[...]
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Écrit par
- André ROUMANET : agrégé de l'Université
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Diagrammes de Venn et de Carroll
Encyclopædia Universalis France
Arbre de choix d'un ensemble à trois éléments
Encyclopædia Universalis France
Adjonction d'un élément à une partie d'un ensemble
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
- Écrit par Bernard PIRE
- 713 mots
Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Saxe, Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles.
Né à Saint-Pétersbourg (Russie) d'un père danois et d'une mère autrichienne, Cantor réside avec...
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BADIOU ALAIN (1937- )
- Écrit par Elie DURING
- 2 613 mots
...». Ce caractère non totalisable, littéralement « inconsistant » du multiple pur, est le motif initial déployé par L'Être et l'événement. En témoignent à leur manière les apories suscitées par l'idée d'un ensemble de tous les ensembles (paradoxe de Russell), ou encore le fait que l'ensemble... -
BERNSTEIN FELIX (1878-1956)
- Écrit par Bernard PIRE
- 337 mots
Mathématicien allemand naturalisé américain, spécialiste de la théorie des ensembles puis des statistiques appliquées. Né le 24 février 1878 à Halle (Allemagne), Felix Bernstein est le fils d'un spécialiste de l'électrobiologie. Élève de Georg Cantor (1845-1918) à Halle, Bernstein...
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BOREL ÉMILE (1871-1956)
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Théorie des ensembles et mesure des ensembles.Le premier, Borel définit les ensembles de nombres réels « de mesure nulle », comme pouvant être, quel que soit ε> 0, recouvert par une famille dénombrable de segments dont la somme des longueurs est inférieure à ε. Il construisit la classe d'ensembles,... -
BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
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