MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

Certes, l'épistémologie se distingue de toutes les réflexions d'ordre éthique ou politique qui interrogent la science et entendent contribuer à la réponse individuelle et collective à la question pratique « Que faire de la science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. Mais, en mathématique comme ailleurs, cette restriction préliminaire ne suffit pas à définir ce qu'elle doit être, quelle est sa tâche, comment elle peut prétendre accompagner la science de façon intéressante.

À quoi sert l'épistémologie ? C'est sans doute, de toute manière, ce qui intrigue le plus le public étranger à cette démarche, qui ne comprend pas bien a priori pourquoi le savoir positif, en l'occurrence la mathématique, n'est pas suffisant, pourquoi une partie de l'énergie de l'intellect humain se fixe sur des problèmes qui se situent un peu à côté de la mathématique sans l'oublier, et qui rencontrent généralement la philosophie, dont l'utilité n'est sans doute pas claire pour la plupart.

À cette vaste question, la réponse ne pourrait être la même pour toutes les variétés d'épistémologie de la mathématique envisagées dans l'article qui suit.

Une première remarque est que l'intérêt pour les questions d'épistémologie de la mathématique vient naturellement aux mathématiciens et aux logiciens eux-mêmes, ce qui semble démontrer qu'il n'y a rien d'artificiel ou de contraire à l'élan scientifique dans ces interrogations. Brouwer, Hilbert, Hermann Weyl (1885-1955), Russell, Frege, Jaakko Hintikka (né en 1929), Martin-Löf, Thom, parmi bien d'autres, sont tous des gens qui ont suivi un chemin épistémologique au sens large à partir de leur pratique – illustre – de la science mathématique ou logique.

Une seconde remarque, connexe, est que l'on ne peut pas, en général, priver l'homme d'un désir de comprendre de quoi il retourne dans ce qu'il fait, désir qui ne se réduit pas à celui d'obtenir des vérités positives. Non seulement ce désir est incoercible, et correspond sans doute à un idéal de lucidité, d'assomption en connaissance de cause très profondément enraciné, qui fait partie de ce que nous appelons dignité humaine. Mais encore l'expérience universelle de tous les lettrés et savants depuis le début de l'aventure intellectuelle de l'humanité est que nous ne « savons » pas bien ce que nous savons tant que nous ne le savons pas avec le recul de la compréhension de notre démarche, tant que nous ne sommes pas capables de regarder notre savoir sur un mode distancié, critique, réflexif, interrogatif, etc. Or c'est précisément ce que nous permet l'épistémologie, et par excellence, sous des formes très variées, l'épistémologie de la mathématique.

Épistémologie fondationnelle et épistémologie historique

On distingue d'abord une épistémologie fondationnelle et une épistémologie plutôt monographique, historique, « restitutive ». S'appliquant à la mathématique, la première se soucie de la façon dont ses vérités sont fondées, sont justifiées pour nous, du titre auquel elle prétend à une certitude exceptionnelle. La seconde se veut simplement connaissance du savoir mathématique en un sens apparemment plus modeste et plus « suiviste » : elle s'exprime par l'étude des travaux de certains grands mathématiciens, de certaines conjonctures théoriques, problèmes ou concepts ; cette étude retrace les gestes intellectuels qui se sont enchaînés en essayant de dégager avec la plus grande force et la plus grande clarté possible leur intelligibilité.

L'école de l'épistémologie entendue en ce second sens est plutôt l'école européenne. Elle a donné lieu, dans les décennies récentes, à de profonds et passionnants[...]