CATALAN ÉQUATION DE

Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette conjecture est : l'équation x^m — yⁿ = 1, où x, y, m et n sont quatre entiers inconnus au moins égaux à 2, admet comme unique solution 3² — 2³ = 1.

Le Français Victor-André Lebesgue (1799- ?) a éliminé le cas n = 2 dès 1850, mais il a fallu attendre 1960 pour que le cas m = 2 soit résolu par le Chinois Ko Chao : 3² — 2³ = 1 est la seule solution. Ainsi, il suffit d'étudier l'équation x^p — y^q = 1, où les exposants p et q sont des nombres premiers impairs, et même plus grands que 3 [travaux du Norvégien Trygve Nagell (1895-1988), 1921].

En 1964, le Britannique John William Scott Cassels (Cambridge) a montré que si une solution existe, alors p divise y et q divise x ; ce résultat est à la base de tous les travaux algébriques qui ont suivi.

Dans une autre direction, grâce à la théorie du Britannique Alan Baker (Cambridge) sur les « formes linéaires de logarithmes », le Néerlandais Robert Tijdeman (Leyde) a démontré en 1976 que l'ensemble des solutions est fini. Pour un logicien, le problème de Catalan est donc décidable, mais l'ensemble fini obtenu par cette méthode est bien trop grand pour une recherche exhaustive par ordinateur. Combinée avec certains résultats algébriques, cette méthode a cependant permis aux Français Maurice Mignotte et Yves Roy (Strasbourg) de démontrer en 1996 que p et q devaient être supérieurs à 100 000.

La voie purement algébrique a été ouverte en 1964 par le Finlandais Kustaa Inkeri (1908-1997) qui a montré que si une solution existe et si l'exposant p est de la forme 4k + 3, alors q² divise p^(q—1) — 1 sauf si une certaine condition technique a lieu. Après trente-cinq années de progrès, un résultat définitif a été obtenu par Preda Mihǎilescu (mathématicien d'origine roumaine) en 1999 : si l'équation x^p — y^q = 1 possède une solution, alors on a à la fois q² divise p^(q—1) — 1 et p² divise q^(p—1) — 1 ; on dit que (p, q) est une double paire de Wieferich. Il faut noter que les doubles paires de Wieferich sont extrêmement rares : on n'en connaît que six. Combiné avec les bornes inférieures précédentes sur les exposants, cela implique en particulier qu'il n'y pas de solution si p divise q — 1 ou q divise p — 1.

Enfin, en 2002, par une méthode algébrique difficile, Mihǎilescu a montré qu'il n'y a pas de solution si p ne divise pas q — 1 et q ne divise pas p — 1. Le problème de Catalan est donc résolu affirmativement. Une démonstration a été exposée par Yuri F. Bilu (Bordeaux) au séminaire Bourbaki à Paris, en novembre 2002.

— Maurice MIGNOTTE