ÉQUATION, mathématique

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles égales ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables.

En d'autres termes, une équation est une égalité f(x) = g(x), où on a pris pour f et g deux fonctions ayant mêmes ensembles de départ et d'arrivée. Une équation peut n'avoir aucune solution, une seule solution, plusieurs, ou une infinité. Une équation qui est vérifiée quelles que soient les valeurs des variables est une identité. La conjonction de plusieurs équations qui doivent être vérifiées simultanément est un système d'équations.

Équations algébriques

Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nombres entiers, nombres rationnels, nombres réels ou complexes, fonctions, etc.

Les équations algébriques les plus simples sont les équations linéaires à une variable ax = b, où a et b sont des nombres donnés ; elles ont été introduites et étudiées depuis la haute antiquité. Les systèmes de deux équations linéaires à deux variables x et y : x + y = a, x – y = b, sont tout aussi anciens. L'étude des systèmes d'équations linéaires est le domaine de l'algèbre linéaire.

Les équations polynomiales sont les équations algébriques à une variable, de la forme f(x) = 0, où f(x) = axⁿ + bx^n–1 +... est un polynôme à une variable : les coefficients a, b,... sont des nombres donnés, et le degré n est un entier naturel. On parle d'équation quadratique, cubique, quartique,... pour les équations de degré 2, 3, 4,... Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont aussi appelées les racines ou les zéros de f ; en particulier, une racine n-ième du nombrea est une solution de l'équation xⁿ = a. Une équation générale de degré n admet n solutions dans le corps des nombres complexes. Al-Khwārizmı̄ (ix^e s.) a montré que les solutions de l'équation du second degré ax² + bx + c = 0 s'expriment à l'aide d'une racine carrée du discriminant b² – 4ac. François Viète (1540-1603) et Jérôme Cardan (1501-1576) ont résolu l'équation générale du troisième degré en extrayant une racine carrée et une racine cubique. Les solutions d'une équation du quatrième degré s'expriment encore en extrayant des racines, mais l'équation générale du cinquième degré et plus ne peut pas être résolue en extrayant des racines, comme le montre la théorie de Galois.

Newton a donné une méthode de calcul approché des solutions en nombres réels d'une équation f(x) = 0, où f est une fonction d'une variable réelle.

L'exemple classique d'une équation algébrique à plusieurs variables est l'équation de Pythagore, qui est l'équation quadratique à trois variables x² + y² = z². Ses solutions positives représentent les longueurs x, y, z des côtés d'un triangle rectangle. Cette équation a une infinité de solutions, données par Euclide, qui s'expriment à l'aide[...]