ÉQUATION, mathématique

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles égales ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables.

En d'autres termes, une équation est une égalité f(x) = g(x), où on a pris pour f et g deux fonctions ayant mêmes ensembles de départ et d'arrivée. Une équation peut n'avoir aucune solution, une seule solution, plusieurs, ou une infinité. Une équation qui est vérifiée quelles que soient les valeurs des variables est une identité. La conjonction de plusieurs équations qui doivent être vérifiées simultanément est un système d'équations.

Équations algébriques

Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nombres entiers, nombres rationnels, nombres réels ou complexes, fonctions, etc.

Les équations algébriques les plus simples sont les équations linéaires à une variable ax = b, où a et b sont des nombres donnés ; elles ont été introduites et étudiées depuis la haute antiquité. Les systèmes de deux équations linéaires à deux variables x et y : x + y = a, x – y = b, sont tout aussi anciens. L'étude des systèmes d'équations linéaires est le domaine de l'algèbre linéaire.

Les équations polynomiales sont les équations algébriques à une variable, de la forme f(x) = 0, où f(x) = axⁿ + bx^n–1 +... est un polynôme à une variable : les coefficients a, b,... sont des nombres donnés, et le degré n est un entier naturel. On parle d'équation quadratique, cubique, quartique,... pour les équations de degré 2, 3, 4,... Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont aussi appelées les racines ou les zéros de f ; en particulier, une racine n-ième du nombrea est une solution de l'équation xⁿ = a. Une équation générale de degré n admet n solutions dans le corps des nombres complexes. Al-Khwārizmı̄ (ix^e s.) a montré que les solutions de l'équation du second degré ax² + bx + c = 0 s'expriment à l'aide d'une racine carrée du discriminant b² – 4ac. François Viète (1540-1603) et Jérôme Cardan (1501-1576) ont résolu l'équation générale du troisième degré en extrayant une racine carrée et une racine cubique. Les solutions d'une équation du quatrième degré s'expriment encore en extrayant des racines, mais l'équation générale du cinquième degré et plus ne peut pas être résolue en extrayant des racines, comme le montre la théorie de Galois.

Newton a donné une méthode de calcul approché des solutions en nombres réels d'une équation f(x) = 0, où f est une fonction d'une variable réelle.

L'exemple classique d'une équation algébrique à plusieurs variables est l'équation de Pythagore, qui est l'équation quadratique à trois variables x² + y² = z². Ses solutions positives représentent les longueurs x, y, z des côtés d'un triangle rectangle. Cette équation a une infinité de solutions, données par Euclide, qui s'expriment à l'aide de deux paramètres.

Les équations à deux variables interviennent en géométrie. En coordonnées cartésiennes, un point du plan est représenté par un couple (x, y) de nombres réels. Si f est une fonction à deux variables, suffisamment régulière, l'ensemble (ou lieu) des points (x, y) tels que f(x, y) = 0 est une courbe tracée dans le plan. Lorsque f(x, y) est un polynôme, on dit que c'est une courbe algébrique. Une droite est donnée par une équation du premier degré, et un cercle par une équation du second degré. Les courbes cubiques données par une équation générale du troisième degré portent aussi le nom de courbes elliptiques car elles interviennent dans le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse.

Les équations diophantiennes (du nom de Diophante d'Alexandrie) sont les équations algébriques à plusieurs variables et à coefficients entiers, dont on cherche les solutions en nombres entiers, ou bien en nombres rationnels. Comme il y a plusieurs variables, on leur donne parfois le nom ambigu d'équations indéterminées. Par exemple, on obtient les solutions en nombres entiers de l'équation de Pythagore en donnant des valeurs entières aux paramètres de la solution. L'équation de Fermat est xⁿ + yⁿ = zⁿ, où n est un entier supérieur ou égal à 3 donné, et où les inconnues x, y, z sont des entiers non nuls. Fermat a écrit que cette équation n'a aucune solution ; c'est seulement en 1994, soit trois siècles et demi après l'affirmation de Fermat, qu'Andrew Wiles a établi que cette équation n'a pas de solution.

La nature d'une équation diophantienne f(x, y) = 0 à deux variables est très différente suivant que l'on recherche des solutions en nombres rationnels ou bien en nombres entiers. La complexité de cette équation se mesure par le degré du polynôme f, mais aussi par un nombre entier appelé le genre : les droites et les coniques sont de genre 0, les courbes elliptiques sont de genre 1. Lorsqu'on cherche les solutions en nombres rationnels, on dispose d'algorithmes systématiques pour résoudre une équation de genre 0 ou 1 ; les équations définissant une courbe de genre supérieur ou égal à 2 n'ont qu'un nombre fini de solutions, comme Gerd Faltings l'a démontré en 1983.

La recherche des solutions en nombres entiers est souvent liée à des questions d'approximation. Par exemple, l'équation de Pell x² – ny² = 1 où n est un entier naturel qui n'est pas un carré, a une infinité de solutions, et les nombres x /y fournissent une approximation de la racine carrée de n lorsque y est de plus en plus grand.