ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Résolution numérique

Pour une équation P(x) = 0, les questions suivantes se sont posées naturellement : Combien a-t-elle de racines réelles ? Combien d'imaginaires ? Combien de positives, de négatives ? Quelles sont les valeurs approchées, au 1/10, au 1/100, au 1/1000 près, etc. de ces diverses racines ?

Descartes, dans sa Géométrie de 1637, déclare, sans preuves, que l'équation P(x) = 0 peut avoir autant de racines réelles positives qu'il y a de changements de signe dans les monômes du premier membre ordonné, et autant de négatives qu'il y a de permanences.

Ainsi x⁴+ x³− x²+ x + 1 = 0 peut avoir deux racines positives et deux racines négatives. En fait, cette équation n'a aucune racine positive et deux racines négatives, les deux autres étant imaginaires conjuguées. On énonce aujourd'hui le théorème de Descartes comme il suit : Dans une équation quelconque, à coefficients réels, le nombre des racines positives ne surpasse pas le nombre des variations de signe du premier membre ; et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.

En 1690, Rolle (1652-1719) énonce dans son Algèbre une proposition que l'on peut exprimer ainsi : Soit P(x) = 0, formons l'équation P′(x) = 0, P′ étant le polynôme dérivé du polynôme P. Entre deux racines de la première équation, il existe au moins une racine de la seconde.

Le théorème de Budan (1811) se rattache au même ordre d'idées : « Étant donné une équation P(x) = 0 de degré m, si dans les (m + 1) fonctions P(x), P′ (x), P″(x), ..., P^(m)(x) où chacune est la dérivée de la précédente, on substitue à x deux nombres α et β (α < β), et, si après chaque substitution on compte les variations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines de P(x) = 0 comprises entre α et β ne surpasse jamais celui des variations perdues de α à β, et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair. »

Le théorème de Sturm (1829) est le résultat le plus précis qui ait été obtenu dans ce domaine. Soit P(x) = 0 l'équation proposée. On divise P par le polynôme dérivé P′. Soit P₂ le reste euclidien changé de signe. Divisons P′ par P₂, et soit P₃ le reste changé de signe, etc. Si m est le degré de P, supposé sans racines multiples, considérons la suite P, P′, P₂, P₃, ..., P_m. Soit alors, comme dans le théorème de Budan, α et β (α < β) deux nombres donnés. Formons P(α), P′(α), ..., P_m(α), et de même P(β), P′(β), ..., P_m(β). Le nombre des racines de l'équation comprises entre α et β est précisément égal à l'excès du nombre des variations de signe que présente la première suite sur celui que présente la seconde.

Les théorèmes précédents et quelques autres analogues permettent la séparation des racines de l'équation. C'est-à-dire que, pour chaque racine réelle, on arrive à trouver deux nombres α et β entre lesquels il n'existe que cette racine de l'équation. À partir de là, on peut appliquer les méthodes générales de résolution d'une équation f (x) = 0 (cf. analyse numérique) pour obtenir des valeurs approchées des racines.