ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(x, y, z) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traçant ainsi sa trajectoire. La dérivée (opération mathématique) de cette fonction f a une signification concrète : elle donne la vitesse du mobile ; si on dérive encore le résultat obtenu pour la vitesse, on connaît alors l’accélération du mobile. Les dérivées sont donc des outils mathématiques utiles dans la quantification de ce que nous observons tous les jours. Imaginons maintenant que le déplacement de ce mobile dépende aussi de la température ambiante (T) et, pourquoi pas, de la vitesse du vent (V). Pour bien connaître le comportement du mobile dans l’espace compte tenu des conditions ambiantes, on effectue des dérivées sur les coordonnées, sur T et sur V. Ces dérivées sont appelées dérivées partielles. Il peut être intéressant dans certains processus de s’attacher aux relations qui peuvent apparaître entre les dérivées partielles; on obtient alors des équations aux dérivées partielles (EDP), car la fonction contient plusieurs variables.

On distingue les E.D.P. linéaires, comme l’exemple décrit précédemment, et celles non linéaires. Les premières décrivent de très nombreux problèmes issus des sciences physiques (physique quantique, électromagnétisme, conductivité thermique), de la mécanique (mécanique des fluides, mécanique du solide, élasticité), de la chimie (mécanismes de réaction-diffusion) ou encore de la biologie (dynamique des populations) et de la finance (actifs financiers, ou pricing d'actifs). Un seul exemple : l’équation dite des télégraphistes, car elle est toujours utilisée dans les systèmes de communications. Elle résulte de la mise en équation de la valeur de la tension électrique (U) dans un matériau en fonction du temps (t) et de la distance (x). On imagine bien les déperditions des communications téléphoniques par lignes électriques à une certaine époque. La mise en équation (en relation) des dérivées partielles de cette fonction sous la forme

$$\frac{{\partial }^{2}U}{{\partial }^{2}t}- \alpha \frac{\partial U}{\partial t}- \frac{{\partial }^{2}U}{{\partial }^{2}x}=0,\mathrm{ }\alpha \mathrm{é}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e},$$

a résolu bien des problèmes dans ce domaine.

L’équation citée ci-dessus est relativement simple dans la mesure où il s’agit d’une E.D.P. linéaire, c’est-à-dire que les relations entre les dérivées partielles sont linéaires : soit on les additionne, soit on les multiplie par un nombre ou bien par une fonction indépendante de la solution cherchée. Dans bien des cas, on rencontre des EDP non linéaires, c’est-à-dire que la relation entre les dérivées partielles est non linéaire. Par exemple, elle fait intervenir le carré d’une dérivée ou bien on multiplie par une fonction qui dépend elle-même de la solution. Parmi elles, on peut citer l’équation iconale (ou eikonocale) en optique, qui permet de déterminer les trajectoires des rayons lumineux dans un milieu, l’équation de Burgers en mécanique des fluides, qui décrit l’évolution d’un déplacement au sein d’un fluide, et, bien sûr, les célèbres équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ces dernières sont loin d’avoir livré tous leurs secrets et le Clay Mathematics Institute offre un million de dollars à qui fait avancer leur difficile théorie. La plupart du temps, on ne sait pas résoudre de manière exacte les EDP non linéaires et on en est réduit à calculer des approximations, souvent à l’aide de l’informatique (solution approximative ou statistique) ; pourtant leur résolution est cruciale tant du point de vue théorique que pour leurs multiples applications industrielles, comme la supraconductivité qui permet de faire léviter certains trains à grande vitesse ou d’accélérer des particules grâce à des aimants supraconducteurs. C’est pour leurs recherches dans ce domaine[...]