DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Existence des solutions

Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

où A(t ) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀]et où c est un vecteur donné, a une solution unique x(t ) définie pour t ∈ [0, t₀].

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.

On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :

qui se prête fort bien au calcul d' approximations successives inventé par Picard :

avec x₀ = c (cf. espaces métriques, chap. 7).

On établit la convergence de la suite x_m(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.

Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

où A(t) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀], et D une matrice n × n constante donnée, a une solution, matrice n × n, X(t ), unique pour t ∈ [0, t₀].

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

ainsi la matrice X(t ) est toujours inversible.

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.

En prenant pour c les éléments de la base de l'espace vectoriel Rⁿ ou Cⁿ, on obtient n solutions de (4), qui sont les vecteurs dont les composantes sont inscrites successivement dans les colonnes de X(t ). Puisque det X(t ) ≠ 0, les vecteurs sont indépendants quel que soit t. D'ailleurs, si l'on dispose de n solutions indépendantes à l'instant t = 0, elles le demeurent pour tout t : on dira que c'est un système fondamental de solutions. Enfin, il ne peut exister plus de n solutions indépendantes.

Dans le cas de l'équation différentielle (3), supposée homogène (b(t ) = 0), les n solutions u₁, u₂, ..., u_n sont indépendantes si, et seulement si, le déterminant de Wronski :

est ≠ 0 pour tout t. Il suffit que cela soit vrai pour une valeur particulière de t.

L'équation linéaire non homogène

L'équation linéaire non homogène est l'équation :

Toute solution de (8) où A(t ) et w(t ) sont respectivement une matrice n × n et un vecteur fonction continue donnée de t ∈ [0, t₀]et c un vecteur constant peut être recherchée sous la forme : x = X(t ) y, où X(t ) est la matrice résolvante de (7).

Il est aisé de voir que (8) conduit à :

système qui a la solution unique :

d'où, pour (8), la solution unique :

Le cas des systèmes à coefficients constants

Si A est une matrice à éléments indépendants de t, la matrice résolvante X(t ) peut être représentée par la série convergente :

On pourra introduire sur l'espace vectoriel des matrices carrées n × n la norme définie par :

avec la topologie correspondante, on peut s'assurer que la série (9) converge uniformément par rapport à t sur tout intervalle fini, et satisfait (7). Par le théorème d'unicité on montre aisément que :

ce qui, avec (9), suggère la définition :

Il est connu que les puissances entières successives d'une matrice ne sont pas indépendantes ; si f (λ) est le polynôme caractéristique f (λ) = det (A − λI), on a f (A) = 0. Cela suggère que l'on peut donner à X(t ) une structure plus simple.

Pour tout nombre complexe λ, il existe un entier ν, le plus petit entier ≥ 0 tel que :

ν = 0 si, et seulement si, λ n'est pas valeur propre de la matrice A. Si λ est valeur propre, ν est au plus égale à l'ordre de multiplicité algébrique de λ. Soit λ₁, ..., λ_k, avec k ≤ n, les valeurs propres distinctes de A, et soit :

les sous-espaces M_j sont sans élément commun autre que 0 et leur somme directe est Cⁿ ; on introduit les opérateurs de projection E_j par la formule E_jx = x_j, où x = x₁ + x₂ + ... + x_k, x_j∈ M_j (décomposition spectrale). On établit que ces opérateurs permutent avec A et que :

est la matrice résolvante de (7).

Cette formule fondamentale montre que les éléments de la matrice X(t ) sont des sommes de produits d'exponentielle e^λ_jt par un polynôme en t dont le degré est inférieur à l'indice ν_j de λ_j, donc a fortiori à l'ordre de multiplicité algébrique de λ_j. On voit que les solutions de dX/dt = Ax convergent toutes vers 0 quand t → + ∞ si et seulement si les valeurs propres de la matrice A ont toutes leur partie réelle négative.

Le cas des systèmes à coefficients périodiques. La théorie de Floquet

Si X(t ) est la matrice résolvante de :

où P(t ) est une matrice n × n continue et périodique de période T par rapport à t, X(t + T) vérifie (11) et en vertu du théorème d'unicité : X(t + T) = X(t ) X(T). Comme X(T) est non singulière, il existe une matrice constante B telle que X(T) = e^BT. La matrice Q(t ) = X(t )e^-Bt est périodique de période T et on obtient la représentation : X(t ) = Q(t )e^-Bt. Les valeurs propres de la matrice B sont les coefficients caractéristiques de la matrice périodique P(t ) ; il faut et il suffit qu'ils soient tous à partie réelle négative pour que toute solution de dx/dt = P(t )x tende vers 0 quand t → + ∞.

Stabilité des solutions

Revenons au cas général dx/dt = A(t )x, où A(t ) est une matrice fonction continue de t ∈ [0, + ∞] ; il est souvent utile de connaître certaines propriétés asymptotiques de la solution, par exemple, de savoir si elles demeurent bornées ou tendent vers 0 quand t → + ∞. Pour conduire cette étude on utilise en général des méthodes de comparaison et, à cette fin, on peut introduire un concept de stabilité du genre suivant : les solutions de dx/dt = A(t )x seront dites stables par rapport à une propriété P et une classe F de matrices B(t ) si les solutions de dx/dt = (A(t ) + B(t ))x ont toutes les propriétés P quel que soit B(t ) ∈ F. On peut illustrer ce concept en citant le théorème suivant : Si les solutions dx/dt = Ax, où A est une matrice constante, sont bornées ou tendent vers 0 quand t → + ∞, alors il en est de même des solutions de :

pourvu que :

Si toutes les solutions de dx/dt = Ax tendent vers 0 quand t → + ∞, il en sera de même des solutions de (12) pourvu que ∥B(t )∥ ≤ k pour t assez grand, k étant un nombre qui ne dépend que de A.