DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les systèmes différentiels linéaires dans le champ complexe

On peut reprendre les problèmes discutés précédemment en supposant que les fonctions qui interviennent dans la définition du système (1) ou (2) sont des fonctions analytiques de la variable z dans un domaine Ω. On suppose d'abord que Ω est un domaine simplement connexe, c'est-à-dire un ensemble de points du plan complexe ouvert et connexe dont le complément par rapport au plan complexe muni du point à l'infini est connexe. On se propose de discuter le problème aux limites :

avec z₀∈ Ω donné, x₀ vecteur de Cⁿ donné, A(z) matrice n × n dont les éléments sont fonction holomorphe de z dans Ω.

On peut établir, en se servant de la méthode d'approximations successives, que le système (13) a une solution unique x(z) holomorphe dans Ω. On peut aussi considérer le même problème pour le système matriciel :

X₀ étant une matrice n × n donnée, et on parvient à une conclusion analogue, c'est-à-dire à l'existence d'une solution unique X(z) qui est une matrice n × n dont les éléments sont fonction holomorphe de z dans Ω.

Le théorème de Jacobi sous la forme :

et les considérations antérieures sur les systèmes de solutions indépendantes développées dans le cas de variable réelle demeurent valables ici.

La structure des solutions dans le voisinage d'un point singulier

Une situation nouvelle apparaît si l'on suppose que la matrice A(z) possède des singularités ; plus précisément nous supposons que la singularité est en z = 0 et que A(z) est holomorphe dans le voisinage 0 < |z| < R ; on précisera plus loin la nature de cette singularité ce peut être un pôle (ce qui signifie que les éléments a_ij(z) de A(z) ont tous au plus une singularité polaire en z = 0) ou une singularité essentielle (ce qui signifie que, parmi les éléments a_ij(z), il en est un au moins qui possède, en z = 0, une singularité de cette nature).

D'après le résultat qui précède, on peut définir une solution de (14), X(z) matrice non singulière (on suppose det X₀≠ 0), fonction holomorphe de z dans tout domaine simplement connexe où A(z) est holomorphe ; imaginons de choisir pour tel domaine un anneau de centre z = 0 dont la frontière est constituée des arcs de cercle |z| = r, |z| = r′, 0 < r < r′ < R et du segment joignant ces deux cercles et porté par le rayon qui passe par un certain point z, r < |z| < r′. Tournant autour de la singularité z = 0 de l'angle 2 π, sur un circuit contenu dans l'anneau, partant de z et y revenant, on pourra définir la matrice : X⁺(z) = X(ze²ⁱ^π).

On s'assure aisément que X⁺(z) est solution locale de l'équation matricielle dX/dz = A(z)X, et, de là, qu'il existe une matrice constante non singulière U telle que X⁺(z) = X(z) U.

Si on définit une matrice constante B telle e^2πⁱ^B = U et si l'on pose Q(z) = X(z)e^−B ln^z, on voit que Q(ze²ⁱ^π) = Q(z), c'est-à-dire que Q(z) est une fonction uniforme ; c'est d'ailleurs, une fonction holomorphe de z dans le voisinage de z = 0, sauf peut-être en z = 0. On obtient alors la représentation fondamentale :

où Q(z) est une matrice inversible fonction holomorphe de z dans 0 < |z| < R. En outre, si λ₁, ..., λ_k sont les valeurs propres distinctes de B, M₁, ..., M_k, les sous-espaces de la décomposition spectrale, et E_j les projecteurs associés, on peut écrire la formule précédente :

Pour achever de préciser la structure de X(z) dans le voisinage de z = 0, il faut savoir quelle est la nature du point z = 0 pour la matrice Q(z). Or, celle-ci étant une fonction holomorphe uniforme dans le voisinage de z = 0, deux cas seuls sont possibles : elle est holomorphe en z = 0, ou bien elle a une singularité en[...]

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Écrit par

Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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