DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Le problème de Sturm-Liouville

Position du problème

Considérons l'équation différentielle linéaire d'ordre n :

où p₀(t ), ..., p_n(t ), r(t ) sont des fonctions continues de la variable réelle t dans l'intervalle t ∈ [a, b], et p₀(t ) ≠ 0 pour t ∈ [a, b].

Imaginons un ensemble de m conditions aux limites du type :

où les α_i^j, β_i^j, γ_i sont des nombres donnés, les formes linéaires (24) étant supposées linéairement indépendantes par rapport aux 2 n variables u(a), u′(a), ..., u⁽^n-1)(a), u(b), ..., u⁽^n-1)(b), ce qui implique m ≤ 2n. On se propose de rechercher dans la classe des fonctions différentiables jusqu'à l'ordre n pour t ∈ [a, b]s'il existe des solutions du système :

Il semble commode de commencer cette étude par la discussion du problème homogène :

Pour résoudre (26), il suffit une fois construit un système fondamental de solutions de l'équation L(u) = 0, soit u₁(t ), u₂(t ), ..., u_n(t ), de rechercher la solution du système (26) sous la forme :

les n coefficients c₁, ..., c_n devant alors être calculés par le moyen des m équations linéaires à n inconnues :

Si le rang de la matrice U_i(u_j) est égal à p ≤ n, il existe n − p vecteurs { c₁, c₂ ..., c_n} indépendants vérifiant (27). Si le rang de cette matrice est égal à n, ce qui implique m ≥ n, le système (27) n'a pas de solution hormis la solution banale u = 0.

Des considérations analogues peuvent être développées pour le système (25).

Le système adjoint

Supposant que les coefficients p_j(t ) ont des dérivées par rapport à t jusqu'à l'ordre n − j, introduisons l' opérateur :

grâce auquel on obtient l'identité de Lagrange :

où P(u, v) est une forme bilinéaire homogène par rapport aux deux ensembles de variables u, u′, ..., u⁽^n-1), et v, v′, ..., v⁽^n-1). Par intégration on obtient :

Complétons le système des m formes linéaires données U_i(u) par 2n − m formes linéaires des variables u(a), ..., u⁽^n-1)(a), u(b), ..., u⁽^n-1)(b), de telle sorte que le système des 2n formes ainsi obtenu soit encore indépendant. On peut montrer qu'il existe alors un système de 2n formes linéaires indépendantes des 2n variables v(a), v′(a), ..., v⁽^n-1)(a), v(b), v⁽^n-1)(b), soit V₁(v) ... V₂_n(v) tel que l'on ait l'identité :

Supposant U₁, U₂, ..., U_m fixées, remplaçons les formes U′_m+1, ..., U′₂_n des mêmes variables constituant avec U₁, ..., U_m un système indépendant. Dans la formule (30), les formes V₁, ..., V₂_n-m seront alors changées en des formes V′₁, ..., V′₂_n-m, mais ces deux derniers systèmes de 2n − m formes sont équivalents. Le système V₁ ... V₂_n-m ne dépend donc en tant que système de formes linéaires, que des m formes données U₁, ..., U_m, ce qui justifie la définition suivante : Le système :

avec i = 1, 2, ..., 2 n − m, est dit adjoint au système (26).

Le cas des systèmes différentiels autoadjoints du second ordre

Un cas très important pour les applications est celui où :

Une condition nécessaire et suffisante pour que L(u) = ∼L(u) est que p₀′ = p₁, et dans ce cas on peut écrire :

Toutefois, si L(u) n'est pas autoadjoint, on peut le rendre tel par multiplication par un facteur convenable :

Puisque, ainsi, toute équation du second ordre peut être réduite à sa forme autoadjointe, on peut se borner à l'étude d'équation du type :

connue sous le nom d'équation de Sturm-Liouville.

Étant donné le problème aux limites :

on peut construire le système adjoint :

et chercher sous quelles conditions il est autoadjoint, ce qui revient à exprimer que le système des formes U₁(u), U₂(u) est équivalent au système V₁(u), V₂(u). On montre qu'il en est ainsi si et seulement si :

Exemple :

Le problème de Sturm-Liouville peut être posé comme suit : étant donné l'équation[...]

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Écrit par

Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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