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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

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Les systèmes différentiels non linéaires

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel

On considère le système différentiel :

où x ∈ Rn, f (x, t ) une fonction à valeurs dans Rn, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t0, t0 + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans Rn.

Avec x0 donné dans G, on se propose de discuter le problème aux limites :

On peut imaginer le procédé constructif suivant : soit t0 < t1 < t2 ... < tp < ..., une suite finie de valeurs de t et :

et introduisons la fonction x̃ (t ) à valeurs dans Rn définie par :

La fonction x̃ (t ) est évidemment continue, sa représentation dans Rn étant une ligne polygonale. On peut espérer, si les intervalles tj + 1 − tj ne sont pas trop grands ou mieux tendent vers 0, que x(t ) tendra d'une certaine façon vers une fonction x(t ) solution de (43).

Tel est le principe de la méthode des différences finies dont les applications débordent largement le cadre de la théorie des équations différentielles. On peut établir ainsi le théorème : Si f (x, t ) est continue dans

où G est un ensemble ouvert et borné de Rn, alors pour tout x0 ∈ G, il existe une fonction vectorielle x(t ) solution de (43) dans l'intervalle[t, t + h], où :
d étant la distance de x0 à la frontière de G. On pourra prendre pour définition de la norme de f, ou de x, ∥f ∥, ∥x∥, la somme des modules des composantes ; on a :

On notera que cet énoncé exprime seulement l'existence d'une solution ; si l'on fait l'hypothèse additionnelle :

quels que soient (x′, x″) ∈ G, t ∈[t0, t0 + T], où k est une constante (condition de Lipschitz), alors on peut établir qu'il y a unicité.

D'autre part, les propriétés de la solution à l'égard des conditions initiales peuvent être appréciées par le résultat suivant : si l'on suppose que f (x, t ) a des dérivées partielles premières par rapport aux composantes de x continues dans ∥x − x0∥ ≤ δ, t ∈ [t0, t0 + T], alors la solution x(t ) du système (43), qui existe et est unique dans t ∈ [t0, t0 + h], a des dérivées partielles premières continues par rapport aux composantes de x0.

Une autre méthode d'approche est celle des approximations successives, que nous avons déjà rencontrée. On fait l'hypothèse (44) et l'on définit la suite x1(t ), ..., xm(t ) par :

équivalente à :

On montre aisément que cette suite peut-être construite dans t ∈ [t0, t0 + h]et converge uniformément dans cet intervalle vers une fonction x(t ) solution de (43) ; le même type d'argument permet d'établir l'unicité (cf. chap. 7 Intégration numérique des équations différentielles pour l'aspect numérique).

Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ complexe

On peut développer des théorèmes d'existence locale assez voisins de ceux qui sont décrits dans le cas précédent. Mais l'étude des solutions d'un point de vue global est très instructive et amène à des distinctions intéressantes lorsqu'on discute de leurs singularités.

Celles-ci sont, en général, de deux sortes : les singularités fixes qu'on peut prévoir a priori d'après la nature du système différentiel donné et celles qui sont mobiles, c'est-à-dire dépendent des conditions initiales. Pour simplifier, on se bornera, dans l'exposé qui suit, au seul cas des équations différentielles non linéaires.

Dans le cas d'une équation du premier ordre : du/dz = f (z, u), f fonction analytique de z et rationnelle en u, on démontre qu'il ne peut pas exister de singularité essentielle mobile, quoique des singularités mobiles plus simples puissent apparaître (pôle ou point[...]

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Écrit par

  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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