DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

La théorie de la stabilité

Pour la description mathématique de très nombreux systèmes physiques oscillatoires on est conduit à des équations ou systèmes différentiels dont il convient de rechercher les solutions stationnaires ou périodiques et d'étudier leurs propriétés de stabilité.

Un modèle relativement simple est fourni par l'équation :

où x ∈ Rⁿ, A matrice n × n réelle et constante, f (x, t ) application continue de :

dans Rⁿ, U étant un voisinage de l'origine, telle enfin que f (0, t ) = 0. Il est clair que x = 0 est solution de (45) ou, comme l'on dit, un point critique. Mais que peut-on dire d'une solution dont la valeur initiale x(0) est petite ? Sera-t-elle définie pour tout t ≥ 0, et, dans l'affirmative, va-t-elle s'écarter notablement ou non de la solution d'équilibre x = 0. Cela amène à préciser le concept suivant de stabilité : une solution x(t ), du système dx/dt = F(x, t ) définie pour tout t ≥ t₀ sera dite stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(ε, t₀) > 0 tel que toute autre solution y(t ) définie pour t ≥ t₀ et vérifiant ∥y(t₀) − x(t₀)∥ ≤ δ satisfait à ∥y(t ) − x(t )∥ ≤ ε pour t ≥ t₀.

Si, de plus, y(t ) − x(t ) → 0 quand t → + ∞, on dira que la solution x(t ) est asymptotiquement stable.

On observera que, pour discuter la stabilité d'une solution x(t ) d'un système quelconque dx/dt = F(x, t ), on pourra toujours, par le changement x = x(t ) + y, se ramener à l'étude de la stabilité d'une solution stationnaire d'un système différentiel, ce qui justifie l'importance de système du type (45).

Revenant à ce cas, on peut énoncer le théorème ( Poincaré- Liapounoff) : Si les valeurs propres de la matrice A ont toutes leur partie réelle négative et si la fonction f (x, t ) continue dans ∥x∥ ≤ ρ, t ≥ 0 est telle que :

x = 0 est solution asymptotiquement stable de (45).

Si l'une au moins des valeurs propres de A est à partie réelle positive, la solution x = 0 est instable.

Le théorème de stabilité demeure vrai si la matrice A est une fonction continue périodique de t dont tous les coefficients caractéristiques sont à partie réelle négative.

Le problème fondamental de la stabilité de la solution x = 0 du système :

peut être abordé par la méthode directe de Liapounoff.

Pour en expliquer le contenu, il faut donner quelques notations préliminaires : on dira que la fonction scalaire V(x, t ) a un signe constant si, dans un domaine Ω(a, τ ) : ∥x∥ ≤ a, t ≥ τ, convenable, elle est différentiable, ne prend que des valeurs d'un même signe ou nulle et V(0, t ) = 0 ; elle sera dite positive ou négative selon la nature de ce signe.

Si W(x) est une fonction scalaire indépendante du temps, on dira que W(x) est définie positive (ou définie négative) si elle est différentiable, et est positive (ou négative) dans un Ω(a, τ) convenable et ne s'annule qu'à l'origine. La fonction scalaire V(x, t ) sera dite définie positive (ou définie négative) s'il existe une fonction définie positive W(x) telle que V − W (ou − V − W) est positive dans un Ω(a, τ) et V(0, t ) = 0.

Supposant que F(x, t ) est continue dans un Ω(a, τ) convenable, on a les théorèmes suivants :

– Si, pour le système (46) et dans un domaine Ω(a, τ), il existe une fonction définie V(x, t ) dont la dérivée :

est d'un signe constant opposé, alors x = 0 est solution stable de (46).

– Si, pour le système (46) et dans un domaine Ω(a, τ), V(x, t ) et dV/dt sont définies et de signe contraire et si

alors x = 0 est une solution asymptotiquement stable de (46).

– Si, pour le système (46),[...]

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Écrit par

Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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