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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les solutions périodiques des systèmes différentiels

Un problème très important pour certaines applications est la recherche de solution périodique de système du type dx/dt = f (x, t ), où f (x, t ), application continue dans Rn, est supposée périodique par rapport à la variable réelle t de période T (cas non autonome), ou encore du type dx/dt = f (x) (cas autonome).

On ne dispose d'aucune méthode d'investigation assez puissante pour répondre à ces questions de manière générale. Les méthodes existantes sont de deux sortes. Les unes, méthode de perturbation, méthode de centrage, permettant l'étude de systèmes quasi linéaires, c'est-à-dire de systèmes dans lesquels la partie non linéaire apparaît multipliée par un paramètre qu'on suppose petit ; le calcul de représentations asymptotiques des solutions périodiques est généralement possible, ainsi que l'étude de la stabilité de ces solutions. Les autres sont des méthodes topologiques qui fournissent pour certains systèmes fortement non linéaires des résultats d'existence de solutions périodiques.

La méthode des perturbations (H. Poincaré)

Considérons l'équation :

où x est une fonction scalaire, x′ = dx/dt, x″ = d2x/dt2, f fonction périodique de t de période 2 π/ω et μ un petit paramètre, tous les éléments ainsi définis étant réels.

Quand μ = 0 l'équation se réduit à x″ + x = 0 qui a pour solution générale x = a cos(t + ϕ), périodique de période 2 π, a et ϕ désignant des constantes arbitraires.

Supposons que ω est voisin de l'unité ou mieux que ω-2 = 1 − μη, η étant une fonction donnée de μ analytique dans le voisinage de 0,

Pour chercher si l'équation (48) a des solutions périodiques de période 2 π/ω, nous posons ω t = θ + δ, θ nouvelle variable, δ paramètre de translation. Il vient ainsi :

et :
et l'on recherche une solution périodique de (49) de période 2 π en θ, telle que x(0) = a, x′(0) = 0 (cette condition initiale fait comprendre le rôle du paramètre de translation δ). La théorie de Poincaré montre que si a et δ0 sont solution réelle du système d'équations :
telle que :
et si g(x, x′, θ + δ, μ, η) continue par rapport à tous ses arguments peut être développée en série de puissances de x − a cos θ, x′ + a sin θ, μ, η − η0, δ − δ0 convergente pour tout θ si tous ces arguments sont de module moindre qu'un nombre positif ρ, alors il existe une solution périodique de l'équation (48) que l'on peut représenter par la série :

Celle-ci peut être dérivée terme à terme deux fois, et :

On peut représenter δ par une série :

et l'on peut obtenir les développements (50) et (52) par substitution dans l'équation (49) et identification dans les deux membres des coefficients des mêmes puissances de μ. On obtient ainsi un système récurrent :

On détermine les γn(θ) et les coefficients δk en imposant aux fonctions γn la condition de périodicité par rapport à θ de période 2 π et en plus : γn(0) = γ′n(0) = 0.

Cette méthode de calcul appliquée à l'équation de Duffing :

avec ω-2 = 1 − μη, h constante, conduit à :

On peut donc obtenir trois solutions périodiques, et en tout cas au moins une ; on a la représentation :

.

La théorie qui précède permet de donner une description satisfaisante du phénomène de synchronisation des oscillateurs quasi linéaires. Si l'oscillateur linéaire est attaqué par une force périodique non linéaire de période voisine de sa période propre, il y a synchronisation sur la force excitatrice, l'oscillation ayant en outre une amplitude bien définie.

La théorie de Poincaré permet aussi de rendre compte du phénomène de démultiplication de fréquence, c'est-à-dire[...]

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Écrit par

  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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