- 1. Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel
- 2. Les systèmes différentiels linéaires dans le champ complexe
- 3. Le problème de Sturm-Liouville
- 4. Les systèmes différentiels non linéaires
- 5. La théorie de la stabilité
- 6. Les solutions périodiques des systèmes différentiels
- 7. Intégration numérique des équations différentielles
- 8. Bibliographie
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
Intégration numérique des équations différentielles
Méthode d'Euler
Prenons d'abord le cas d'une équation différentielle du 1er ordre : Trouver y, fonction d'une variable x, dérivable sur[x0, x0 + a] = I, telle que, f désignant une fonction continue sur I × R,
L'idée est de remplacer le problème théorique précédent, noté P, par le problème discrétisé Pn suivant (méthode d'Euler) : Trouver Yn = (y0, y1, ..., yn), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :
Le raisonnement, fort simple, est le suivant : Si y est solution unique de P1, y′(xi) est proche de :
Pn est un problème discrétisé associé à P1. On remarque alors immédiatement qu'une notion importante va devoir être précisée : comment dire que la solution de Pn converge vers celle de P1 lorsque n tend vers + ∞. L'analyse numérique devra fournir des majorations pour |y(xi) − yi|.
Dans la suite, nous supposerons toujours que f satisfait à la condition (L) suivante appelée condition de Lipschitz globale : il existe L ≥ 0 tel que :
Cette condition assure l'existence et l'unicité du problème P (cf. chap. 4).
On peut espérer que, si h est assez petit, le nombre yi est proche de y(xi). C'est pourquoi le nombre ei = y(xi) − yi sera appelé l'erreur au point xi, tandis que :
Le procédé Ph est dit convergent si :
Notons que cette notion de convergence est peu habituelle ; car la solution de P est une fonction x ↦ y(x), alors que la solution Yn de Pn est une suite finie de n + 1 nombres réels. Ainsi, y et Yn n'appartiennent pas au même espace et nous ne pouvons pas mesurer une distance éventuelle de y à Yn. Néanmoins, cette notion de convergence satisfait le physicien, qui ne cherche pas explicitement y mais qui veut surtout des valeurs approchées de y(xi) pour un certain pas h. Si En est petit, l'erreur de discrétisation provoquée par le passage de P à Pn est faible.
Théorème. Si (L) est satisfaite, le procédé Pn est convergent. Plus précisément, on peut montrer que :
Cette majoration prouve la convergence ; car, f étant continue, la solution unique de P possède une dérivée continue sur I, donc uniformément continue, de sorte que le maximum y′(t1) − y′(t2), pour |t1 − t2| ≤ h, tend vers 0 avec h.
Néanmoins, cette majoration ne donne pas de bornes pour l'erreur commise, car elle fait intervenir la dérivée de la fonction inconnue.
Cherchons une majoration de En. Prenons tout d'abord (L) comme seule hypothèse. On peut alors montrer que la solution unique de P satisfait à :
Une majoration de K1 est en général assez simple à déterminer, de sorte qu'on peut définir un ensemble borné D de I × R qui contient (x, y(x)) tel que y soit solution de P. C'est l'ensemble D, défini par :
Si, sur D, qui est un ensemble borné fermé, la fonction f possède des dérivées partielles continues :
Remarquons que cette majoration est utilisable si on peut calculer aisément :
Le résultat final est alors :
Ainsi, la convergence est en 1/n. On peut l'accélérer par la méthode d'extrapolation à la limite (méthode de Richardson, ou encore de Romberg).[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
- Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
- Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
Classification
Autres références
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 528 mots
Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 6 250 mots
- 1 média
Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ ...
-
BUSH VANNEVAR (1890-1974)
- Écrit par Bruno JACOMY
- 1 075 mots
- 1 média
...jeu une multitude de problèmes liés au comportement des lignes, à leur infrastructure ou à la topographie du terrain. Leur résolution fait appel à des équations différentielles complexes que les ingénieurs résolvent généralement par intégration graphique, en calculant l’aire définie par une courbe.... -
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
- 11 465 mots
- 3 médias
On sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal,... - Afficher les 27 références
