Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Méthodes géométriques

Pour classer les types d'équations, on utilise d'abord la dimension, ou nombre de variables indépendantes, du système proposé. Ainsi, en général, un système :

est de dimension (n − r). En dimension 1, on parle de courbes ; en dimension 2, de surfaces. Les solutions en nombres entiers ou rationnels du système proposé ne sont autres que les points entiers ou rationnels de la variété algébrique associée.

Déjà pour les courbes planes (une équation f (x, y) = 0), la classification par le degré s'avère trop grossière. Ainsi la théorie des cubiques planes à point double, comme :

avec a rationnel, est très simple, celle des cubiques planes sans point double, comme :
avec a et b rationnels non nuls et distincts, est beaucoup plus délicate. On est ainsi amené à utiliser des « invariants » de nature géométrique. Pour les courbes, on utilise le genre, nombre de trous de la surface de Riemann correspondante. Pour une courbe plane de degré d, à points multiples ordinaires, le genre vaut :
où la sommation s'étend à tous les points multiples, l'ordre de ceux-ci étant si.

Courbes de genre zéro

On dispose ici d'une analyse complète. En ce qui concerne les points rationnels, la démarche est la suivante. Toute courbe de genre zéro peut, par un changement de variables, être ramenée à une conique plane (D.  Hilbert-A.  Hurwitz, 1891), soit ax2 + by2 + c = 0. D'après le théorème de Legendre (cf. supra), les conditions de congruence permettent de décider si cette conique a un point rationnel. S'il y a un point rationnel, soit M0, on peut les décrire tous, au moyen d'une paramétrisation biunivoque :

avec f et g des quotients de polynômes à coefficients rationnels (chaque point rationnel de la conique correspond à une unique valeur, rationnelle, du paramètre t). Une telle paramétrisation sera dite polynomiale. Pour obtenir cette paramétrisation, on fait simplement tourner une droite autour de M0 ; chaque droite de pente rationnelle t, passant par M0, recoupe la conique, qui est de degré 2, en un unique point, à coordonnées (x = f (t), y = g(t)) rationnelles. C'est ainsi qu'a été résolue plus haut l'équation de Pythagore.

Pour les points entiers sur une courbe de genre zéro, on dispose aussi d'une analyse complète (C. L. Siegel, 1929) : essentiellement, l'équation de Pell (cf. supra) est le seul cas non évident où il peut y avoir une infinité de points entiers.

Courbes de genre 1 : points rationnels

Ici, les conditions de congruence ne suffisent plus à assurer l'existence d'un point rationnel, comme le montre l'exemple 3 x3 + 4 y3 + 5 = 0 (E. S. Selmer, 1951). On dispose cependant d'un procédé remontant à Fermat (descente infinie) permettant d'étudier de telles courbes. C'est un problème ouvert de savoir si l'application systématique de ce procédé, conjointement avec les conditions de congruence, suffit toujours à déterminer la présence ou l'absence d'un point rationnel sur une courbe de genre 1.

Si l'on connaît un point rationnel sur une telle courbe, celle-ci peut être ramenée ( Poincaré, 1901) à une cubique plane non singulière :

avec P(x) un polynôme du troisième degré sans facteur multiple. On a là une courbe elliptique, objet fondamental tant en géométrie algébrique qu'en théorie des nombres. La géométrie algébrique montre qu'on ne peut pas ramener une telle courbe à une courbe de genre zéro. Il existe pourtant une paramétrisation des solutions complexes de (C), bien classique, mais, elle, de nature transcendante : la paramétrisation par les fonctions elliptiques (Weierstrass),. On voit sur cette paramétrisation que les solutions complexes de (C) peuvent être munies d'une structure de groupe abélien. En fait, la composition ainsi définie induit une composition[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : chargé de recherche au C.N.R.S.
  • : professeur à la faculté des sciences de Reims
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Média

Équation de Pythagore - crédits : Encyclopædia Universalis France

Équation de Pythagore

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias
    Hillel Furstenberg - crédits : Yosef Adest/ Hebrew University of Jerusalem

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • BAKER ALAN (1939-2018)

    • Écrit par
    • 338 mots

    Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

  • CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922-2015)

    • Écrit par
    • 328 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 11 juillet 1922 à Durham, John William Scott Cassels est le fils du directeur de l'agriculture du comté de Durham dans le nord de l'Angleterre. Après des études secondaires et supérieures à Édimbourg (Écosse), il est admis en...

  • Afficher les 16 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter