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DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Méthodes géométriques

Pour classer les types d'équations, on utilise d'abord la dimension, ou nombre de variables indépendantes, du système proposé. Ainsi, en général, un système :

est de dimension (n − r). En dimension 1, on parle de courbes ; en dimension 2, de surfaces. Les solutions en nombres entiers ou rationnels du système proposé ne sont autres que les points entiers ou rationnels de la variété algébrique associée.

Déjà pour les courbes planes (une équation f (x, y) = 0), la classification par le degré s'avère trop grossière. Ainsi la théorie des cubiques planes à point double, comme :

avec a rationnel, est très simple, celle des cubiques planes sans point double, comme :
avec a et b rationnels non nuls et distincts, est beaucoup plus délicate. On est ainsi amené à utiliser des « invariants » de nature géométrique. Pour les courbes, on utilise le genre, nombre de trous de la surface de Riemann correspondante. Pour une courbe plane de degré d, à points multiples ordinaires, le genre vaut :
où la sommation s'étend à tous les points multiples, l'ordre de ceux-ci étant si.

Courbes de genre zéro

On dispose ici d'une analyse complète. En ce qui concerne les points rationnels, la démarche est la suivante. Toute courbe de genre zéro peut, par un changement de variables, être ramenée à une conique plane (D.  Hilbert-A.  Hurwitz, 1891), soit ax2 + by2 + c = 0. D'après le théorème de Legendre (cf. supra), les conditions de congruence permettent de décider si cette conique a un point rationnel. S'il y a un point rationnel, soit M0, on peut les décrire tous, au moyen d'une paramétrisation biunivoque :

avec f et g des quotients de polynômes à coefficients rationnels (chaque point rationnel de la conique correspond à une unique valeur, rationnelle, du paramètre t). Une telle paramétrisation sera dite polynomiale. Pour obtenir cette paramétrisation, on fait simplement tourner une droite autour de M0 ; chaque droite de pente rationnelle t, passant par M0, recoupe la conique, qui est de degré 2, en un unique point, à coordonnées (x = f (t), y = g(t)) rationnelles. C'est ainsi qu'a été résolue plus haut l'équation de Pythagore.

Pour les points entiers sur une courbe de genre zéro, on dispose aussi d'une analyse complète (C. L. Siegel, 1929) : essentiellement, l'équation de Pell (cf. supra) est le seul cas non évident où il peut y avoir une infinité de points entiers.

Courbes de genre 1 : points rationnels

Ici, les conditions de congruence ne suffisent plus à assurer l'existence d'un point rationnel, comme le montre l'exemple 3 x3 + 4 y3 + 5 = 0 (E. S. Selmer, 1951). On dispose cependant d'un procédé remontant à Fermat (descente infinie) permettant d'étudier de telles courbes. C'est un problème ouvert de savoir si l'application systématique de ce procédé, conjointement avec les conditions de congruence, suffit toujours à déterminer la présence ou l'absence d'un point rationnel sur une courbe de genre 1.

Si l'on connaît un point rationnel sur une telle courbe, celle-ci peut être ramenée ( Poincaré, 1901) à une cubique plane non singulière :

avec P(x) un polynôme du troisième degré sans facteur multiple. On a là une courbe elliptique, objet fondamental tant en géométrie algébrique qu'en théorie des nombres. La géométrie algébrique montre qu'on ne peut pas ramener une telle courbe à une courbe de genre zéro. Il existe pourtant une paramétrisation des solutions complexes de (C), bien classique, mais, elle, de nature transcendante : la paramétrisation par les fonctions elliptiques (Weierstrass),. On voit sur cette paramétrisation que les solutions complexes de (C) peuvent être munies d'une structure de groupe abélien. En fait, la composition ainsi définie induit une composition[...]

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Écrit par

  • : chargé de recherche au C.N.R.S.
  • : professeur à la faculté des sciences de Reims
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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Équation de Pythagore - crédits : Encyclopædia Universalis France

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