DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Équations à beaucoup de variables

La méthode du cercle de Hardy-Littlewood-Vinogradov, qui avait déjà révélé sa puissance dans l'étude du problème de Waring (cf. théorie des nombres – Théorie analytique des nombres), a aussi permis d'obtenir le résultat suivant (H. Davenport, B. Birch, 1962). Soit f₁, ..., f_r des formes homogènes de degré d, en n variables, à coefficients entiers. Supposons que le système :

n'a pas de solution complexe singulière non nulle. Si les conditions de congruence sont satisfaites, si le système a une solution non nulle en nombres réels et si :

alors le système a une solution non nulle en nombres entiers. On peut appliquer ce résultat par exemple à une forme cubique en au moins 17 variables (toute forme telle a un zéro non trivial), ou à un système de deux formes quadratiques en au moins 13 variables.

Si les conditions de congruence (et la condition réelle) ne sont pas en général suffisantes quand le nombre de variables est très petit par rapport au degré (ainsi r = 1, d = 3, n = 4, cf. supra), on peut se demander si on ne peut pas affaiblir l'inégalité (_*). On ignore ainsi si, pour une forme cubique non singulière en au moins 5 variables, les conditions de congruence sont suffisantes.

On se demande si une équation non singulière :

de degré d ≤ n a une infinité de solutions rationnelles dès qu'elle en a une. Considérons par exemple l'équation :

Pour d = n = 4, à part les solutions évidentes du type (1, 0, ..., 0), on connaît :

mais on ne connaît pas de solution à un paramètre. Pour d = n = 5, on connaît des solutions à deux paramètres. On connaît par ailleurs beaucoup de solutions de l'équation u⁶ + v⁶ + w⁶ = z⁶ + t⁶ + 1 (A. Bremner, 1980), par une méthode inspirée de celle qui est mentionnée pour l'équation x⁴ + y⁴ = z⁴ + 1.

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Écrit par

Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE : chargé de recherche au C.N.R.S.
Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims
Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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