DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Équations diophantiennes exponentielles
On appelle ainsi les équations du type :
Comme équations classiques de ce type, résolubles par des factorisations en nombres entiers, citons :
Pour établir une conjecture de Ramanujan l'équation :
Les résultats d'A. Baker sur les formes linéaires de logarithmes ont permis de réaliser d'importants progrès (cf. nombres transcendants). Il s'agit en fait de méthodes d'approximation.
Ainsi, pour f (x) un polynôme à coefficients entiers avec au moins deux zéros, on sait (A. Schinzel, R. Tijdeman, 1976) qu'il n'y a qu'un nombre fini d'entiers m pour lesquels l'équation :
En 1976, R. Tijdeman, utilisant ces méthodes, a montré que l'équation de Catalan :
Par ces méthodes, on a aussi obtenu le résultat suivant sur l'équation de Fermat, où l'on autorise l'exposant à varier : pour C un réel fixé, l'équation xn + yn = zn en entiers naturels non nuls (x, y, z, n) n'a qu'un nombre fini de solutions avec n ≥3, et y − x < C.
Depuis que cet article a été écrit, le grand théorème de Fermat a été démontré par Andrew John Wiles en 1994 [cf. Démonstration du grand théorème de Fermat (Wiles), 1994] et le fait que l'équation de Catalan n'admet qu'une solution a été démontré par Preda Mihăilescu en 2002.
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Écrit par
- Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE : chargé de recherche au C.N.R.S.
- Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims
- Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
Classification
Média
Équation de Pythagore
Encyclopædia Universalis France
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