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INTÉGRALES ÉQUATIONS

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l'analyse fonctionnelle. Quelques années plus tard, l'étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à définir l'espace qui porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F. Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales ont joué un rôle historique important dans l'élaboration des principaux concepts de l'analyse contemporaine.

Exemples

La forme usuelle d'une équation intégrale est :

où A est une partie de Rm décrite par chacune des variables x et ξ, K une fonction donnée sur A2 appelée noyau de l'équation, f une fonction donnée sur A, qui est la constante 0 dans l'équation homogène :
enfin la fonction y est l'inconnue de l'équation et λ un paramètre ; toutes ces quantités sont de préférence complexes.

Problème de Sturm-Liouville

Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l' équation différentielle linéaire homogène :

(où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact[a, b]de R et r une fonction continue strictement positive sur cet intervalle) a des solutions non nulles vérifiant n conditions aux limites données.

Si 0 n'est pas l'une de ces valeurs de λ, on définit une fonction de Green G du problème, continue sur[a, b]2 ; si l'on connaît G, la formule intégrale :

donne la solution de l'équation non homogène :
vérifiant les conditions aux limites données, de sorte que le problème de Sturm-Liouville est transformé en l'équation intégrale homogène :

Problème de Dirichlet

Le problème de Dirichlet, dans un ouvert borné Δ de Rm, pour une fonction continue f donnée sur la frontière Γ de Δ, consiste à trouver la fonction, unique d'après le principe du maximum, continue sur :

harmonique sur Δ, qui coïncide avec f sur Γ. En 1877, C. G.  Neumann proposait la méthode suivante pour la solution de ce problème, en supposant m = 2 et Γ pourvue d'une tangente continue ; on désignera par L(Γ) la longueur de la courbe Γ.

Soit (ξ, η) le point courant de Γ, d'abscisse curviligne σ, et (α, β) les cosinus directeurs de la normale en ce point orientée vers Δ. On appelle potentiel de double couche d'une densité continue μ sur Γ la limite, quand δ tend vers 0, du quotient par 2 δ de la différence entre le potentiel de la densité μ au point (ξ + αδ, η + βδ) et celui de la densité − μ au point (ξ, η). Le potentiel de double couche est la fonction :

où dω est l'angle orienté sous lequel, du point (x, y) ∈ Δ, on voit l'arc dσ de Γ. Cette fonction est harmonique sur Δ et, en un point (x, y) ∈ Γ, d'abscisse curviligne s, elle a pour limite :
en égalant cette limite à f (x, y), on obtient une équation intégrale non homogène où les variables sont s et σ, mais sans paramètre λ.

Henri Poincaré pressentit, dès 1896, le rôle que ce paramètre jouerait dans les résultats ; cette intuition fut confirmée en 1903 par les remarquables travaux du Suédois Ivar Fredholm résumés ci-dessous (cf. chap. 3).

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Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI
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