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INTÉGRALES ÉQUATIONS

Méthode des approximations successives

Supposons A compact, le noyau K continu sur A2 et, de même, f dans l'espace de Banach C(A) formé des fonctions y continues sur A à valeurs complexes, avec la norme :

Au noyau K est associé l'opérateur intégral :

qui à la fonction y ∈ C(A) fait correspondre z = Ky ∈ C(A) définie par :

I désignant l'application identique, on peut écrire l'équation intégrale (1) :

et sa résolution revient à inverser l'opérateur I − λK ; or (3) permet de déterminer la norme de l'opérateur K :

Supposons maintenant |λ|∥ K ∥ < 1. D'une part, l'équation homogène :

ne peut avoir que la solution identiquement nulle ; d'autre part, la suite yn définie, à partir de y0 ≡ 0 par exemple, par la formule de récurrence ou d'approximations successives (cf. espaces métriques) :
converge dans C(A) vers la solution de (1), à savoir :

Kn+1 étant le (n + 1)-ième itéré de l'opérateur K, ou l'opérateur intégral associé au noyau itéré K(n+1) défini par récurrence par :

et, pour n ≥ 1, par :

On met la solution (4) sous la forme :

en introduisant l'opérateur intégral Gλ associé au noyau résolvant :
puisque (6) donne la solution unique de (1), les opérateurs I − λK et I + λGλ sont inverses l'un de l'autre, d'où résulte, pour |λ|∥K∥ < 1 et |μ|∥K∥ < 1, la relation fondamentale entre noyaux résolvants :

Vito Volterra étudia le cas particulier A = [a, b], a < b, K(x, ξ) = 0 pour ξ > x, K(x, ξ) fonction continue de (x, ξ) pour a ≤ ξ ≤ x ≤ b. Dans ce cas, l'équation (1) s'écrit :

et la définition (5) des noyaux itérés entraîne :

C'est donc pour tout λ ∈ C, et non plus seulement pour |λ| ∥K∥ < 1 comme dans le cas général, que, d'une part, l'équation homogène n'a que la solution identiquement nulle, puisqu'elle entraîne y = λnKny pour tout n ; que, d'autre part, la série (4) converge dans C(A) vers la solution de (8) ; enfin, on a la relation (7) quels que soient λ et μ.

Les difficultés que présente le cas général furent surmontées par les deux mémoires de Fredholm de 1901 et de 1903.

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Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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