INTÉGRALES ÉQUATIONS
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Méthode des approximations successives
Supposons A compact, le noyau K continu sur A2 et, de même, f dans l'espace de Banach C(A) formé des fonctions y continues sur A à valeurs complexes, avec la norme :
Au noyau K est associé l'opérateur intégral :
I désignant l'application identique, on peut écrire l'équation intégrale (1) :
Supposons maintenant |λ|∥ K ∥ < 1. D'une part, l'équation homogène :
Kn+1 étant le (n + 1)-ième itéré de l'opérateur K, ou l'opérateur intégral associé au noyau itéré K(n+1) défini par récurrence par :
On met la solution (4) sous la forme :
Vito Volterra étudia le cas particulier A = [a, b], a < b, K(x, ξ) = 0 pour ξ > x, K(x, ξ) fonction continue de (x, ξ) pour a ≤ ξ ≤ x ≤ b. Dans ce cas, l'équation (1) s'écrit :
C'est donc pour tout λ ∈ C, et non plus seulement pour |λ| ∥K∥ < 1 comme dans le cas général, que, d'une part, l'équation homogène n'a que la solution identiquement nulle, puisqu'elle entraîne y = λnKny pour tout n ; que, d'autre part, la série (4) converge dans C(A) vers la solution de (8) ; enfin, on a la relation (7) quels que soient λ et μ.
Les difficultés que présente le cas général furent surmontées par les deux mémoires de Fredholm de 1901 et de 1903.
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
- Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
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