INTÉGRALES ÉQUATIONS
Méthode de Fredholm
Supposons toujours A compact et le noyau K continu sur A2. Si l'on partage A en p parties Ai de mesures αi, i = 1, ..., p, et si l'on choisit xi ∈ Ai pour chaque indice i, on peut considérer le système linéaire :
Le monôme (9) est le terme général d'une série entière convergente pour tout λ ∈ C ; en ajoutant à la série un terme constant égal à 1, on obtient une fonction entière D(λ) appelée déterminante du noyau K et aussi déterminante du noyau transposé K∼ défini par :
Le produit de cette déterminante et du noyau résolvant est encore une fonction entière de λ :
Le premier théorème de Fredholm affirme que, si D(λ) ≠ 0, pour tout second membre f ∈ C(A), l'équation (1) a une solution unique, encore donnée par (6), avec maintenant :
Si au contraire λ est valeur singulière du noyau K, c'est-à-dire D(λ) = 0, le deuxième théorème de Fredholm affirme que chacune des équations homogènes (2) et :
Si y est solution de (1) et z solution de (2), on a :
De ces trois théorèmes se dégage l' alternative de Fredholm :
1. Ou bien l'opérateur I − λK est inversible dans L[C(A), C(A)] ;
2. Ou bien l'opérateur I − λK n'est ni injectif ni surjectif, son noyau étant de dimension finie, son image étant fermée et de codimension finie.
Le deuxième cas se présente pour les valeurs de λ qui annulent la déterminante : si donc il y en a, elles sont en nombre fini ou forment une suite λm → ∞, chaque éventualité pouvant se présenter.
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
- Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
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