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INTÉGRALES ÉQUATIONS

Principaux cas particuliers

Dans le cas de Volterra (cf. supra, fin du chap. 2), la déterminante ne peut s'annuler. On retrouve ce fait en remarquant que :

si x1, ..., xn sont deux à deux distincts, d'où :

Le cas de Goursat est celui où le noyau K est de la forme :

  les hi étant linéairement indépendantes dans C(A), ainsi que les ki. Dans ce cas, on a :
pour n > p ; dont D(λ) est un polynôme de degré ≤ p et le noyau K a au plus p valeurs singulières.

Le noyau K est dit hermitien si :

c'est-à-dire si :
quels que soient x et ξ ∈ A. Dans ce cas, chaque déterminant de Fredholm :
est réel et les valeurs singulières aussi ; car :
entraîne la relation :
où les deux intégrales sont réelles. Le noyau K a certainement au moins une valeur singulière s'il n'est pas identiquement nul, et il a certainement une suite λm, m ∈ N, de telles valeurs singulières, si le noyau n'est pas un noyau de Goursat. Le cas particulier de Goursat étant exclu, on a les formules :
et :

La richesse et la précision des résultats obtenus dans cette théorie, pour des noyaux quelconques et plus encore pour des noyaux hermitiens, ne sont pas seulement admirables par elles-mêmes : elles ont contribué largement à l'essor, au xxe siècle, de l'analyse fonctionnelle en général, à l'essor de la théorie des opérateurs linéaires et à celui de la théorie des espaces préhilbertiens ou hilbertiens en particulier.

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Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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