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INTÉGRALES ÉQUATIONS

Opérateurs compacts

Propriété de compacité

L' inégalité de Schwarz, appliquée à (3), donne :

et :

Ces inégalités suggèrent les hypothèses suivantes sur le noyau K : l'espace L2(A) contient chaque fonction :

et l'application x → Kx est une application continue de A dans L2(A).

Sous ces hypothèses, réalisées en particulier si K est continu sur le compact A2, que l'on munisse C(A) de la norme :

comme aux chapitres 2 et 3, ou que l'on munisse C(A) de la norme :
définissant une topologie strictement moins fine, l' opérateur intégral K a cette propriété (obtenue en appliquant le théorème d'Ascoli à la suite bornée équicontinue Kyn) que, pour toute suite yn bornée dans C(A), la suite Kyn contient une suite partielle convergente dans C(A).

Cette propriété de l'opérateur K fut dégagée, puis étudiée dans un espace vectoriel normé quelconque E, par le Hongrois Frédéric Riesz, sous le nom de complète continuité, auquel on préfère aujourd'hui celui de compacité : elle entraîne en effet la continuité de l'opérateur, mais s'oppose à ce qu'il ait un inverse continu, du moins si E est de dimension infinie.

La seconde norme sur C(A) indiquée ci-dessus a sur la première l'avantage de munir C(A) d'une structure préhilbertienne (cf. espace de hilbert, chap. 1) permettant de considérer d'autre part des opérateurs auto-adjoints (cf. ci-dessous).

Valeurs spectrales

Soit E un espace vectoriel normé quelconque et K ∈ L(E, E) : on dit qu'un nombre complexe ζ est valeur spectrale de K si l'opérateur K − ζI n'est pas inversible dans L(E, E), valeur propre de K si K − ζI n'est pas injectif ; ceci entraîne cela, et réciproquement, si E est de dimension finie.

Soit E de dimension infinie et K compact : alors, la valeur 0 est spectrale, mais elle n'est pas propre en général ; au contraire, si ζ ≠ 0, on a pour l'opérateur K − ζI l'alternative de Fredholm telle qu'elle a été énoncée à la fin du chapitre 3, de sorte qu'une valeur ζ ≠ 0 est propre si et seulement si elle est spectrale. S'il y a de telles valeurs, elles sont en nombre fini ou forment une suite tendant vers 0.

Opérateur adjoint

Supposons désormais que la norme de E lui donne une structure préhilbertienne, donc qu'elle est associée à un produit scalaire, noté (x|y) ; on dit alors que deux opérateurs K et K* ∈ L(E, E) sont adjoints si :

quels que soient x et y ∈ E, et que K est auto-adjoint s'il est son propre adjoint. Ainsi, lorsque E est égal à C(A) muni de la seconde norme indiquée supra (cf. Propriété de compacité), les opérateurs intégraux associés aux noyaux K et K* = ≃K sont adjoints.

Si K et K* sont adjoints et compacts, on retrouve le troisième théorème de Fredholm sous la forme suivante : L'image de l'opérateur K − ζI est le supplémentaire orthogonal du noyau de son adjoint K* − ζI.

Soit enfin Kcompact auto-adjoint : ses valeurs spectrales sont réelles, les noyaux de K − ζI et K − ζ′I sont orthogonaux si ζ ≠ ζ′ et si ∥K∥ ou − ∥K∥ est valeur spectrale.

Les valeurs spectrales peuvent former un ensemble fini {ζ0, ζ1, ..., ζn}, avec ζ0 = 0. Alors, le supplémentaire orthogonal du sous-espace engendré par les noyaux des :

est stable par K et la restriction de K à ce supplémentaire est un opérateur compact auto-adjoint sans autre valeur spectrale que 0, donc nul ; cela veut dire que tout vecteur y ∈ E est la somme de ses projections orthogonales ym sur les noyaux des K − ζmI, m = 0, 1, ..., n, d'où les formules :
qui définissent parfaitement l'opérateur K et permettent, par exemple, de traiter l'équation :
où z est donné : si λ n'est pas valeur spectrale, l'équation a pour solution unique :
où zm est[...]

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Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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