KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)
Les « nombres idéaux »
C'est de 1837 qu'est daté le premier mémoire de Kummer sur le grand théorème de Fermat, concernant l'impossibilité de l'équation xm + ym = zm dans l'anneau Z des entiers dès que m est supérieur à 2. Kummer fut ainsi amené, comme plusieurs autres chercheurs contemporains, à s'intéresser aux anneaux cyclotomiques, ou, suivant son langage, « aux nombres complexes formés par des nombres entiers et des racines de l'unité », nombres complexes de la forme :
Des tentatives analogues à celle de Kummer avaient été faites en France ; Cauchy lui-même s'était attaqué, sans résultat, à ce problème. Joseph Liouville avait apporté à une preuve de Gabriel Lamé une critique analogue à celle que Dirichlet faisait à Kummer. Celui-ci lui écrivit de Breslau, le 28 avril 1847, en lui envoyant ses propres travaux de 1845, où la difficulté était enfin, partiellement, vaincue : « Quant à la proposition qu'un nombre complexe ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière, je puis vous assurer qu'elle n'a pas lieu généralement tant qu'il s'agit des nombres complexes de la forme :
L'Académie des sciences de Paris avait proposé plusieurs fois, depuis 1823, la démonstration du théorème de Fermat pour son grand prix de mathématiques. Comme elle ne trouvait jamais un mémoire digne de la médaille d'or, elle l'attribua, en 1857, à Kummer, « pour ses belles recherches sur les nombres complexes », bien qu'il n'eût jamais concouru.
Les nombres idéaux, d'un maniement technique délicat, ont donné naissance à la théorie des « idéaux », créée par R. Dedekind vers 1870, qui joue un rôle essentiel dans toutes les branches des mathématiques (cf. théorie des nombres – Nombres algébriques).
Signalons encore, parmi les travaux de Kummer en théorie des nombres, ses études sur la loi de réciprocité pour le degré 4 et les degrés supérieurs.
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Écrit par
- Jean ITARD : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences
Classification
Autres références
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