SCHRÖDINGER ERWIN (1887-1961)

Équation de Schrödinger

Alors que Louis de Broglie partait des principes de Fermat et de Maupertuis, Schrödinger se réfère directement à l'optique de Hamilton, susceptible d'une double interprétation en termes d'émission et d'ondulation, et utilise les formalismes de Hamilton-Jacobi concernant les équations aux dérivées partielles du système conservatif le plus général de la dynamique classique. Il introduit dans l'espace dit de configuration, c'est-à-dire sur l'ensemble des coordonnées ou paramètres généralisés de Lagrange, une métrique non euclidienne, et il montre que l'ensemble des surfaces d'égale action peut être assimilé à un ensemble de surfaces d'ondes. Formant alors l'hypothèse que les ondes envisagées sont sinusoïdales par rapport à une fonction linéaire de l'action, il établit la coïncidence entre la vitesse de groupe des ondes (cf. ondes [physique]) et la vitesse du point représentatif du système mécanique considéré.

Ainsi, le résultat que Louis de Broglie avait trouvé pour l'onde de phase d'un électron en faisant appel à la théorie de la relativité se trouve intégré dans une perspective plus large. Il importe d'y fixer la forme de l'équation d'onde convenable dans l'espace de configuration, en considérant la seule donnée utilisable qu'est l'expression de la vitesse de phase (et non plus la vitesse de groupe) en fonction de l'énergie ou de la fréquence. Cette vitesse étant :

où les opérations différentielles sont définies dans l'espace de configuration doté de la métrique non euclidienne évoquée plus haut.

Il s'agit bien d'une proposition. Schrödinger insiste sur le fait qu'après avoir été conduit par la formalisation hamiltonienne à représenter les phénomènes mécaniques sous la forme d'une propagation d'ondes et après avoir tenu compte de l'incidence de la conception granulaire de l'énergie sur la vitesse des ondes, seul un « désir de simplicité pousse à essayer d'abord une équation » du type considéré. Cette équation aux dérivées partielles a la même allure, classique, que celles de Hamilton-Jacobi pour la dynamique ordinaire. Sa substitution à ces dernières, concernant les problèmes à l'échelle atomique, correspond au souhait de faire dépendre la dynamique microscopique d'une certaine fonction, unique, finie et continue dans tout l'espace de configuration. Il se trouve que l'équation proposée « trie automatiquement les fréquences ou les niveaux d'énergie et sépare celles qui sont susceptibles d'apparaître réellement dans des phénomènes stationnaires », c'est-à-dire qu'en définitive l'appareil mathématique classique de l'analyse fonctionnelle, perfectionné par les algorithmes de la géométrie différentielle non euclidienne, réagit favorablement à la provocation quelque peu empirique dont il est l'objet. Il accepte d'intégrer les conditions des quanta dans le tri des solutions acceptables d'une équation aux dérivées partielles, et un pont est ainsi établi, au niveau même des instruments de la physique théorique, entre continu et discontinu.

Tel est le succès de Schrödinger où l'esprit de tentative « simple » qui caractérise toujours la démarche du physicien s'allie avec la possession des plus hautes et plus modernes mathématiques. C'est en raison de cette possession, et particulièrement de sa connaissance de la géométrie absolue de Hilbert, que Schrödinger a été capable de maîtriser l'équivalence de la mécanique quantique de Heisenberg avec les opérations[...]