HILBERT ESPACE DE

Théorie élémentaire

L'étude des espaces hermitiens de dimension finie repose sur le théorème qui suit.

Théorème 3. Tout espace hermitien de dimension finie admet au moins une base orthonormale.

La démonstration s'effectue par récurrence sur la dimension de l'espace hermitien E. Soit donc E un espace hermitien de dimension strictement positive n. Choisissons un vecteur unitaire e₁. L'ensemble H des vecteurs orthogonaux à e₁ est un hyperplan de E, car c'est le noyau de la forme linéaire non nulle x ↦ (x|e₁). De plus, e₁ n'appartient pas à H, si bien que E est somme directe orthogonale de la droite Ce₁ et de H. Il suffit alors d'appliquer l'hypothèse de récurrence à H, qui est de dimension n − 1, pour obtenir une base orthonormale de E.

Théorème 4. Soit E un espace hermitien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.

– Pour tout vecteur x de E, il existe un couple (y, z) et un seul de vecteur de E tel que y ∈ F^⊥, z ∈ F et x = y + z. Autrement dit, le sous-espace vectoriel F^⊥ est supplémentaire orthogonal de F dans E. Par suite, (F^⊥)^⊥ = F. Enfin, pour tout vecteur u de F différent de z, ∥x − u∥ > ∥x − z∥.

– Si F est muni d'une base orthonormale (e₁, e₂, ..., e_p), alors :

Munissons F d'une base orthonormale (e₁, e₂, ..., e_p). Le vecteur z, s'il existe, peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme z = α₁e₁ + ... + α_pe_p ; or,

par suite, les vecteurs y et z sont nécessairement définis par les formules :ce qui prouve l'unicité du couple (y, z). Réciproquement, les vecteurs ainsi définis conviennent visiblement.

Soit maintenant u un vecteur de F. Le vecteur x − z est orthogonal à F, et le vecteur z − u appartient à F. Donc :

ce qui achève la démonstration.

Corollaire 1. Toute famille orthonormale d'éléments d'un espace hermitien E de dimension finie peut être complétée en une base orthonormale de E.

Soit en effet F le sous-espace vectoriel engendré par une famille orthonormale L. D'après le théorème, F^⊥ est supplémentaire orthogonal de F dans E. Il existe une base orthonormale L′ de F^⊥. La base de E obtenue en réunissant L et L′ convient.

Corollaire 2. Soit (e₁, e₂, ..., e_p) une famille orthonormale de vecteurs d'un espace hermitien E, et x un vecteur de E. Pour tout élément j de [1, n], on pose ξ_j = (x|e_j). Alors la fonction f qui à tout élément (λ₁, λ₂, ..., λ_p) de C^p associe le nombre réel positif :

admet un minimum strict au point (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_p). Autrement dit, pour approcher le mieux possible (en norme) un vecteur x par des éléments de la forme :il convient de prendre λ_j = ξ_j pour tout j ∈ [1, p]. Posons en effet :

Puisque u appartient au sous-espace vectoriel F engendré par e₁, e₂, ..., e_p, nous savons que, si u ≠ z :

ce qu'il fallait prouver.

Soit, par exemple, f une fonction continue à valeurs complexes admettant 1 pour période, et p un entier naturel. Parmi les polynômes trigonométriques de la forme :

celui qui approche le mieux f en moyenne quadratique est le polynôme :somme partielle à l'ordre p de la série de Fourier de f.

Procédé d'orthonormalisation de Schmidt. Soit E un espace hermitien, (e₁, e₂, ..., e_p) une famille orthonormale de vecteurs de E, et F le sous-espace vectoriel de E engendré par cette famille. On suppose que F est différent de E, et on considère un vecteur x de E n'appartenant pas à F. Il existe alors un vecteur e_p+1 de E et un seul tel que :

– la famille (e₁, e₂, ..., e_p, e_p+1) soit orthonormale ;

– le vecteur e_p+1 appartienne au sous-espace vectoriel F ⊕ Cx ;

– le scalaire (e_p+1| x) soit réel positif.

De plus, le vecteur e_p+1 est donné par la formule :

où :

Par récurrence, on en déduit le théorème suivant.

Théorème[...]