HILBERT ESPACE DE
Espaces hilbertiens
Dans la théorie précédente, le théorème de projection orthogonale (théorème 4) a joué un rôle fondamental. Il ne s'étend malheureusement pas au cas d'un sous-espace vectoriel fermé quelconque F d'un espace hermitien. Ainsi, dans l'espace hermitien C[− 1, 1]), l' hyperplan fermé noyau de la forme linéaire continue :
Théorème 7. Soit E un espace hermitien et F un sous-espace vectoriel complet de E. Alors F admet un supplémentaire orthogonal, et (F⊥)⊥ = F.
Ce théorème contient le théorème 4 comme cas particulier, et s'applique aussi au cas où E est hilbertien et F fermé.
La démonstration s'appuie sur le théorème suivant.
Théorème 8. Soit E un espace hermitien, F une partie convexe complète non vide de E, et x un élément de E. Il existe alors un élément z de F et un seul tel que :
On montre pour cela que toute suite (zn) de points de F telle que ∥x − zn∥ converge vers d(x, F) est une suite de Cauchy. Comme F est complet, la suite (zn) admet une limite z dans F, et on vérifie que z convient.
On en déduit facilement le théorème 7, en prouvant que y = x − z est orthogonal à F.
Dégageons quelques conséquences du théorème 7.
Corollaire 1. Soit F un sous-espace vectoriel fermé d'un espace hilbertien E. Si F ≠ E, il existe un vecteur non nul de E orthogonal à F.
Corollaire 2. Pour qu'une famille (ei), i ∈ I, de vecteurs d'un espace hilbertien E soit totale, il faut et il suffit que le vecteur nul soit le seul vecteur orthogonal à tous les vecteurs ei.
Corollaire 3. Soit a un vecteur d'un espace hilbertien E. L'application fa : x ↦ (x|a) est une forme linéaire dont la norme est égale à celle de a. Autrement dit :
Réciproquement, pour toute forme linéaire continue f sur E, il existe un vecteur a de E et un seul tel que f soit égale à l'application x ↦ (x|a). Ainsi, l'application a ↦ fa est une application semi-linéaire bijective de E sur son dual topologique E*.
Corollaire 4. Toute famille orthonormale d'éléments d'un espace hilbertien E peut être complétée en une base hilbertienne de E. En particulier, tout espace hilbertien admet au moins une base hilbertienne (ei), i ∈ I. L'application
On démontre aussi que deux bases hilbertiennes d'un espace hilbertien E sont équipotentes. Le cardinal d'une base hilbertienne de E s'appelle dimension hilbertienne de E.
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Écrit par
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
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