AFFINES ESPACE & REPÈRE

Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités données, défini comme bipoint. Plus précisément, la structure affine se définit comme suit.

Espace affine. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attaché à l'espace E s'il est muni d'une application de A × E dans A, notée (M, x ) ↦ M + x, telle que le groupe additif de E opère simplement transitivement sur A. Autrement dit, à (M, x) ∈ A × E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et à un couple quelconque de points (M, N) de A × A, que l'on désigne sous le nom de bipoint, correspond dans E un vecteur x (appelé opérateur de translation de A) et un seul, tel que N = M + x. Ce vecteur x se note MN. Deux bipoints AB et CD sont dits équipollents si AB = CD.

Soit O un point quelconque de A. Le couple (A, O) s'appelle espace affine muni de l'origine O. L'application de A dans E, définie par M ↦ x = OM, est une bijection qui permet d'identifier l'espace A muni de l'origine O à l'espace vectoriel E.

Réciproquement, par l'application qui à tout couple de vecteurs (x, y) de E associe le vecteur x + y, l'ensemble E devient un espace affine attaché à l'espace vectoriel E. Le vecteur nul de E s'appelle origine canonique de l'espace affine E.

Si l'espace E est de dimension finie, on pose dim (A) = dim (E).

Variété linéaire affine. Un sous-ensemble A′ ⊂ A est appelé variété linéaire affine (ou variété linéaire) de l'espace affine A si, pour toute famille finie de points de A′, tout barycentre de ces points appartient à A′. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une partie non vide A′ de A soit une variété linéaire affine est que, en prenant un point O quelconque dans A′, l'ensemble des vecteurs OM, où M ∈ A′, soit un sous-espace vectoriel E′ de l'espace vectoriel E auquel est attaché A. Le sous-espace E′ ne dépend d'ailleurs pas du choix de O dans A′. D'autre part, on peut montrer que la variété linéaire A′ est un espace affine attaché à E′ (qui est appelé direction de A′). Si E′ est de dimension finie, on pose : dim (A′) = dim (E′). Étant donné un sous-ensemble B de A, on appelle variété linéaire affine engendrée par B la plus petite variété linéaire contenant B ; on montre que c'est l'intersection de toutes les variétés contenant B. D'autre part, la variété linéaire affine engendrée par (k + 1) points de A notés (a_i), pour 1 ≤ i ≤ k + 1, est l'ensemble des barycentres des a_i. Par définition, les (k + 1) points a_i sont dits affinement indépendant (ou forment une famille affinement libre) si la dimension de la variété linéaire qu'ils engendrent est égale à k ; si cette dimension est inférieure à k, ils sont dits affinement liés.

Repère affine. On appelle repère affine d'un espace affine A attaché à un espace vectoriel E de dimension n la donnée d'un point O de A et d'une base B de E. Le point O est l'origine du repère et les coordonnées d'un point M sont les composantes de OM sur la base B. Ainsi, si :

pour 1 ≤ i ≤ n, et si :

les coordonnées de M sont les x_i.

Géométrie affine. La géométrie affine est l'étude des espaces affines et des variétés linéaires affines ainsi que des invariants par le groupe affine.

— Jacques MEYER