MÉTRIQUES ESPACES
Topologie d'un espace métrique
À partir des boules, on peut construire sur un espace métrique les principales notions topologiques qui permettent de « faire de l'analyse ». À ce propos, par la clarté avec laquelle les notions de limite et de continuité s'expriment au moyen de la terminologie que nous allons introduire, la théorie des espaces métriques constitue un excellent préliminaire à la topologie générale.
Ouverts et fermés
Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu'un sous-ensemble U de E est ouvert si pour tout point x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U. D'après un principe général de logique, l'ensemble vide, qui n'a pas d'élément, est donc ouvert. Faisons le lien avec la terminologie introduite plus haut en montrant qu'une boule ouverte B(x0, r) est un ensemble ouvert : en effet, si x ∈ B(x0, r), l'inégalité triangulaire entraîne que B(x, r′) ⊂ B(x0, r) pour r′ = r − d(x0, x) > 0. On voit donc qu'un ensemble U est ouvert si et seulement si c'est une réunion de boules ouvertes.
La famille des ouverts d'un espace métrique vérifie les propriétés suivantes qui sont prises en topologie générale comme axiomes pour définir une topologie : (O1) E et o/ sont des ensembles ouverts ; (O2) Toute réunion (finie ou pas) d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert ; (O3) Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Montrons ce dernier point. Soit U1, U2, ..., Un des ouverts ; si l'intersection est vide, c'est terminé d'après (O1). Sinon, soit x ∈ U1 ∩ ... ∩ Un = U ; par hypothèse, il existe ri, i = 1, ..., n, tels que B(x, ri) ⊂ Ui et par suite B(x, r) ⊂ U pour r = inf (r1, ..., rn).
On dit que deux distances d1 et d2 sur un même ensemble E sont (topologiquement) équivalentes si les ouverts correspondants sont les mêmes. Cela signifie que toute boule ouverte B1 de centre x0 par rapport à la distance d1 contient une boule B2 de centre x0 (par rapport à la distance d2), puisque x0 ∈ B1, qui, étant un ouvert pour d1, est aussi un ouvert pour d2, et vice versa. C'est ce qui se produit pour les trois distances d1, d2 et d3 considérées plus haut sur R2, qui définissent les mêmes ouverts. Remarquons aussi que, sur R, la distance usuelle d définie à partir de la valeur absolue par d(x, y) = |x − y|, et pour laquelle les boules sont les intervalles, est topologiquement équivalente à la distance d′ pour laquelle R est un sous-espace métrique de R− (cf. chap. 1), c'est-à-dire :
Par passage au complémentaire, on définit la famille des fermés d'un espace métrique : un sous-ensemble F de E est dit fermé si son complémentaire dans E est un ensemble ouvert. Par exemple toute boule fermée Bf(x0, r) est un ensemble fermé ; en effet, si x ∉ Bf(x0, r), on a :
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Inégalités de distances
Encyclopædia Universalis France
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