MÉTRIQUES ESPACES

Suites de Cauchy

B. Bolzano et A. Cauchy ont dégagé l'importance du critère de convergence suivant, qui ne fait pas intervenir la valeur de la limite : une suite (u_n) de nombres réels est convergente si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

(cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable ; nombres réels). D'où le nom de suite de Cauchy donné à une suite (u_n) d'éléments d'un espace métrique E, de distance d, telle que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que :

Il est facile de voir que toute suite convergente (u_n), de limite a, est a fortiori une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒ d(u_n,a) < ε/2 ; pour p ≥ N et q ≥ N, on a donc, en appliquant l'inégalité triangulaire, d(u_p,u_q) ≤ d(u_p,a) + d(a,u_q) < ε. Au contraire, l'exemple de l'ensemble des nombres rationnels montre qu'une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente. On dit qu'un espace métrique, comme Rⁿ, dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy coïncident avec les suites convergentes, est un espace complet.

Les notions de suite de Cauchy et d'espace complet ne dépendent pas que de la topologie de l'espace métrique. Pour illustrer ce fait, désignons par R₁ l'ensemble des nombres réels muni de la distance usuelle, définie à partir de la valeur absolue, et par R₂ ce même ensemble muni de la distance induite par celle de R− (cf. chap. 1) ; on a vu que les ouverts de R₁ et R₂ sont les mêmes (ce qui signifie que les deux distances sur R sont équivalentes). Considérons la suite des entiers naturels, dont le n-ième terme est l'entier n ; ce n'est manifestement pas une suite de Cauchy pour la distance usuelle sur R, mais c'est une suite de Cauchy dans R₂, puisqu'elle converge vers l'élément + ∞ dans R−. D'autre part, l'espace R₁ est complet, tandis que l'espace R₂ ne l'est pas car la suite (de Cauchy) des entiers naturels n'est pas convergente dans cet espace : cela tient au fait que R₂ n'est pas un sous-espace fermé de l'espace métrique R− (qui est complet car isométrique au segment [− 1, + 1]) ; plus généralement, la caractérisation des fermés au moyen des suites (cf. chap. 2) montre qu'un sous-espace métrique F d'un espace métrique complet est complet si et seulement s'il est fermé dans E.

Dans l'exemple précédent, l'application identique i : R₂→ R₁, définie par i(x) = x pour tout x ∈ R, est continue, ce qui montre que l'image d'une suite de Cauchy par une application continue n'est pas nécessairement une suite de Cauchy. Par contre, les définitions montrent immédiatement que l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy, donc une suite convergente si l'espace d'arrivée est complet. Donnons, comme application de cette remarque, un important théorème de prolongement.

Théorème de prolongement des applications uniformément continues : Soit E un espace métrique, A un sous-ensemble partout dense de E (cela signifie, rappelons-le que tout point de E est adhérent à A) et F un espace métrique complet. Alors toute application f : A → F qui est uniformément continue se prolonge de manière unique en une application continue g : E → F ; de plus, g est uniformément continue.

Nous nous bornerons à indiquer l'idée de la démonstration. Pour x ∈ A, on doit avoir g(x) = f (x), et il faut donc définir g(x) pour x ∉ A.[...]