NORMÉS ESPACES VECTORIELS

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx^e siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes quadratiques à une infinité de variables. À sa suite, F. Riesz (1880-1956) et E. Fischer (1875-1959) étudient les fonctions de carré intégrable et la convergence en moyenne quadratique, puis F. Riesz introduit les espaces L^p pour 1 < p < + ∞ et la moyenne d'ordre p. Toutefois, ce n'est que vers 1920 que la notion d'espace normé abstrait est dégagée, principalement par S.  Banach (1892-1945), et ce n'est qu'en 1929-1930 que J. von Neumann (1903-1957) propose une présentation axiomatique des espaces de Hilbert. S. Banach, dans sa thèse de 1920 intitulée : Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, écrit : « L'ouvrage présent a pour but d'établir quelques théorèmes valables pour différents champs fonctionnels, que je spécifie dans la suite. Toutefois, afin de ne pas être obligé à les démontrer isolément pour chaque champ particulier, ce qui serait bien pénible, j'ai choisi une voie différente que voici : je considère d'une façon générale les ensembles d'éléments dont je postule certaines propriétés, j'en déduis des théorèmes et je démontre ensuite de chaque champ fonctionnel particulier que les postulats adoptés sont vrais pour lui. »

Par la suite, les espaces vectoriels normés ont été étudiés de manière autonome, notamment du point de vue de leur géométrie. Parallèlement, l'obligation, en théorie des équations aux dérivées partielles par exemple, de considérer des espaces de fonctions dont la topologie n'est pas déduite d'une norme a motivé l'introduction d'une structure plus générale : celle d' espace vectoriel topologique. Toutefois, en raison de la spécificité des problèmes et des méthodes, les espaces vectoriels normés ne doivent pas être considérés comme de simples cas particuliers d'espaces vectoriels topologiques. De plus, les espaces vectoriels topologiques les plus importants peuvent être construits en un certain sens à l'aide d'espaces vectoriels normés, et bénéficient donc pour leur étude des propriétés de ces derniers. En retour, les espaces vectoriels topologiques interviennent dans l'étude des espaces normés, notamment pour tout ce qui concerne les convergences faibles.

Dans la seconde moitié du xx^e siècle, l'évolution de la théorie est considérable, particulièrement en ce qui concerne la géométrie des espaces de Banach et ses liens avec les ensembles d'opérateurs que l'on peut définir entre les espaces étudiés.

Espaces vectoriels normés, espaces de Banach : définitions et premières propriétés

Dans ce qui suit, on ne considérera que des espaces vectoriels sur le corps R des nombres réels ou sur le corps C des nombres complexes. Pour éviter de préciser à chaque fois, on désignera par K ce corps de base ; pour α ∈ K, la notation |α| désignera donc soit la valeur absolue de α si K = R, soit le module de α si K = C.

Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle norme sur E une application (notée traditionnellement x ↦ ∥x∥ ; on dit aussi que ∥x∥ est la norme de x) de E dans l'ensemble R⁺ des nombres réels positifs ou nuls qui possède les propriétés suivantes :

(1) Condition de séparation :

(2) Homogénéité :

(3) Inégalité du triangle :

Un espace vectoriel muni d'une norme s'appelle un espace vectoriel normé. Remarquons que la restriction d'une norme à un sous-espace[...]