NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Les théorèmes généraux de base
Entre 1920 et 1930, S. Banach, H. Hahn, H. Steinhaus élaborent les théorèmes généraux de base de la théorie.
Théorème de Hahn-Banach
Il existe diverses versions de ce théorème ; nous donnons ici une version analytique valide dans les deux cas : K = R ou K = C. Nous renvoyons à l'article convexité pour une forme géométrique de ce résultat.
Soit E un espace vectoriel sur K, p une semi-norme sur E (cf. chap. 1) et f une forme linéaire sur un sous-espace F de E qui pour tout x de F vérifie |f (x)| ≤ p(x). Il existe alors une forme linéaire g sur E qui prolonge f et qui vérifie |g(x)| ≤ p(x) pour tout x de E.
Les quatre théorèmes qui suivent reposent de manière essentielle sur la propriété de Baire des espaces métriques complets (cf. espaces métriques, chap. 4).
Théorème de l'application ouverte
Soit E et F deux espaces de Banach et u une application linéaire continue surjective de E sur F. L'image par u de tout ouvert de E (cf. topologie-Topologie générale) est alors un ouvert de F.
On déduit immédiatement de ce théorème que si de plus u est injective alors u est un isomorphisme de l'espace de Banach E sur l'espace de Banach F. En particulier, lorsqu'un espace vectoriel E est muni de deux normes qui en font toutes deux un espace de Banach, il suffit de montrer que ces normes se comparent pour en conclure qu'elles sont équivalentes.
Théorème du graphe fermé
Soit E et F deux espaces de Banach. Pour qu'une application linéaire u de E dans F soit continue, il faut et il suffit que son graphe soit fermé dans l'espace produit E × F.
Théorème d'équicontinuité de Banach
Soit (Ti)i∈I une famille d'applications linéaires continues d'un espace de Banach B dans un espace vectoriel normé F. On suppose que, pour tout élément x de B, sup i∈I∥Ti(x)∥ < + ∞ ; alors sup ∥Ti∥ < + ∞. i∈I
Théorème de Banach-Steinhaus
Soit E et F deux espaces de Banach et (Τn)n∈N une suite d'applications linéaires continues de E dans F. Alors lim Tn(x) n→∞ existe pour tout x élément de E si et seulement si lim Τn(x) existe pour tout xn→∞
d'un sous-ensemble dense de E et sup ∥Tn(x)∥ < + ∞ pour tout x élément nde E. Quand la limite T(x) existe pour tout élément x de E, l'application Τ est linéaire continue et ∥Τ∥ ≤ lim inf ∥Τn∥. n→∞
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Robert ROLLAND : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x → ∥x∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de... -
BANACH STEFAN (1892-1945)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 598 mots
Le nom de Banach restera lié aux espaces vectoriels normés complets, appelés par lui espaces du type (B) et universellement dénommés de nos jours « espaces de Banach » (terminologie introduite par M. Fréchet en 1928). La notion d'espace normé général apparaît pour la première fois dans les travaux... -
CONVEXITÉ - Ensembles convexes
- Écrit par Victor KLEE
- 4 666 mots
- 7 médias
La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limitera ici à de rapides... -
HILBERT ESPACE DE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 3 231 mots
La semi-norme précédente est une norme si et seulement si l'espace vectoriel E est hermitien. Le nombre réel positif ∥x∥ s'appelle alors norme hermitienne du vecteur x, et le nombre ∥x − y∥ distance hermitienne des points x et y. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire. Dans...
