NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Produits d'espaces de Banach

E et F étant deux espaces de Banach, la somme directe E ⊕ F (cf. algèbre linéaire et multilinéaire, chap. 2) peut être munie d'une structure d'espace de Banach dont la topologie associée soit la topologie produit de celle de E par celle de F (cf. topologie-Topologie générale). Il y a en fait plusieurs normes qui réalisent cette condition, les plus utilisées étant ∥(x, y)∥_p = (∥x∥_E^p + ∥y∥_F^p)^1/p, où 1 ≤ p < + ∞ et ∥(x, y)∥_∞ = max (∥x∥_E, ∥y∥_E). Évidemment, ces normes sont équivalentes et les espaces de Banach obtenus sont isomorphes.

La complémentation

Soit E ⊕ F une décomposition en somme directe algébrique de l'espace de Banach X. E et F étant munis des topologies induites par celle de X, et E ⊕ F de la topologie produit, nous dirons que E ⊕ F est une décomposition en somme directe topologique si l'application

En utilisant le théorème de l'application ouverte, on montre que pour qu'une décomposition en somme directe E ⊕ F de l'espace de Banach X soit topologique il faut et il suffit que E et F soient des sous-espaces fermés de X.

Le problème de la complémentation qui se pose alors est de savoir si, étant donné un sous-espace vectoriel fermé E d'un espace de Banach X, il existe un supplémentaire topologique de E dans X, c'est-à-dire un sous-espace F de X tel que E ⊕ F soit une décomposition en somme directe topologique de X ; on dira dans ce cas que E est complémenté dans X. On montre que pour qu'un sous-espace fermé E de X soit complémenté dans X il faut et il suffit qu'il existe une projection continue P de X sur E ; alors E ⊕ (I − P)(X), où I est l'application identique, est une décomposition en somme directe topologique de X. Il n'est pas vrai en général que tous les sous-espaces fermés d'un espace de Banach soient complémentés : par exemple, c₀ n'est pas complémenté dans l^∞. Toutefois, la propriété indiquée est réalisée dans les espaces de dimension finie et dans les espaces de Hilbert (cf. espace de hilbert, chap. 3) et elle caractérise ces espaces ; plus précisément :

a) Soit E un espace de Banach dans lequel il existe pour tout sous-espace F fermé de E une projection continue de norme 1 de E sur F ; alors E est isométrique à un espace de Hilbert.

b) Soit E un espace de Banach dans lequel il existe pour tout sous-espace F fermé de E une projection continue de E sur F ; alors E est isomorphe à un espace de Hilbert.

Bases de Schauder

Soit (x_i)_i∈N une suite d'éléments d'un espace de Banach E telle que tout élément x de E se décompose de manière unique sous la ∞forme x =  x*_i (x)x_i, où les x*_i(x) sont i = 0des éléments de K (qui dépendent évidemment de x). Dans ces conditions, les applications :

(r = 1, 2, ..., 2^k ; k = 0, 1, ...) constitue une base de Schauder.

Dans un espace de Banach E muni d'une base de Schauder, les combinaisons linéaires finies à coefficients rationnels d'éléments de la base forment une famille dénombrable dense dans E : l'espace E est séparable. La plupart des espaces de Banach séparables que l'on rencontre sont munis de bases de Schauder ; on peut néanmoins construire des espaces de Banach séparables qui n'en possèdent pas.[...]