NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Les propriétés d'approximation
On supposera désormais que K = R.
Une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est dite de rang fini si son image est un sous-espace de dimension finie de F. X et Y étant deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de rang fini de X dans Y, il est clair, d'après le théorème de Riesz (cf. chap. 1), que l'adhérence dans Y de l'image par f de la boule unité fermée de X est une partie compacte de Y, c'est-à-dire que f est un opérateur compact. Comme on sait d'autre part que dans Lc (X, Y) muni de la norme des applications linéaires continues une limite d'opérateurs compacts est un opérateur compact, la question qui se pose est de savoir si, pour des espaces de Banach X et Y arbitraires, tout opérateur compact de X dans Y est limite dans Lc (X, Y) muni de la norme indiquée d'une suite d'opérateurs de rang fini. Ce problème, dit problème de l'approximation, n'a été résolu par la négative qu'en 1973 par P. Enflo ; il a donné lieu à l'étude de divers énoncés équivalents et à la mise en place de quelques propriétés voisines extrêmement importantes (ces travaux sont essentiellement dus à A. Grothendieck). On dit que l'espace de Banach X possède la propriété d'approximation (la A.P.) si, pour tout compact Q de X et tout ε > 0, il existe une application linéaire continue T de rang fini telle que pour tout x de Q on ait ∥Tx − x∥ ≤ ε. λ étant un réel ≥ 1, si on impose à T la condition supplémentaire d'être de norme inférieure à λ, on dit alors que X a la λ-propriété d'approximation (λ-A.P.). Lorsqu'il existe un réel λ tel que l'espace de Banach X ait la λ-A.P., on dit que X a la propriété d'approximation bornée (B.A.P.). Enfin, si X a la 1-A.P., on dit qu'il a la propriété d'approximation métrique. On montre que l'espace de Banach X a la A.P. si et seulement si, pour tout espace de Banach Y, tout opérateur compact de X dans Y est limite dans Lc (X, Y) muni de sa norme usuelle d'une suite d'applications linéaires continues de rang fini.
On sait qu'il existe des espaces de Banach qui n'ont pas la A.P. et qu'il existe des espaces de Banach qui ont la A.P. mais n'ont pas la B.A.P. Soit un espace de Banach X ayant une base de Schauder (xi)i∈N, la considération des opérateurs de rang fini Tnndéfini par Tn(x) = xi*(x) xi montre que i = 0X a la B.A.P. ; on ne sait pas par contre si tout espace de Banach séparable ayant la B.A.P. possède une base de Schauder.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Robert ROLLAND : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x → ∥x∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de... -
BANACH STEFAN (1892-1945)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 598 mots
Le nom de Banach restera lié aux espaces vectoriels normés complets, appelés par lui espaces du type (B) et universellement dénommés de nos jours « espaces de Banach » (terminologie introduite par M. Fréchet en 1928). La notion d'espace normé général apparaît pour la première fois dans les travaux... -
CONVEXITÉ - Ensembles convexes
- Écrit par Victor KLEE
- 4 666 mots
- 7 médias
La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limitera ici à de rapides... -
HILBERT ESPACE DE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 3 231 mots
La semi-norme précédente est une norme si et seulement si l'espace vectoriel E est hermitien. Le nombre réel positif ∥x∥ s'appelle alors norme hermitienne du vecteur x, et le nombre ∥x − y∥ distance hermitienne des points x et y. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire. Dans...
