NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Intégration des fonctions à valeurs vectorielles. Mesures à valeurs vectorielles
L'intégration des fonctions à valeurs vectorielles et les mesures à valeurs vectorielles sont des outils intéressants qui permettent en particulier grâce à des théorèmes de représentation de mieux étudier certaines propriétés géométriques des espaces de Banach.
Intégration des fonctions à valeurs vectorielles
(Ω, T, μ) est un espace mesuré par une mesure positive finie μ ; X est un espace de Banach et BX est la tribu borélienne de X (cf. intégration et mesure). Une application f de Ω dans X est dite fortement mesurable si c'est une application mesurable (c'est-à-dire si l'image réciproque par f de tout élément de BX est un élément de T) et s'il existe un sous-espace fermé séparable X0 de X et un élément Ω0 de T de mesure nulle tels que f (Ω − Ω0) ⊂ X0.
Une application f de Ω dans X est dite simple si elle est mesurable et si son image est un sous-ensemble fini de X.
Une fonction simple non nulle s'écrit alors de manière unique sous la forme :
Toute fonction f de Ω dans X, fortement mesurable, est limite presque partout d'une suite de fonctions simples ; cela nous suggère de définir l'intégrale de certaines fonctions fortement mesurables grâce à une approximation par des fonctions simples ; cette démarche est possible grâce au lemme suivant :
Lemme. Soit (f n1)n et (f n2)n deux suites de fonctions simples qui convergent presque partout vers la même fonction simple f et telles que, pour i = 1 et 2, lim ∫Ω ∥f in(ω) − f mi (ω)∥dμ = 0. Alors, les n→∞
m→∞
limites lim ∫A f in(ω) dμ (i = 1 et 2) existent n→∞
pour tout A élément de T (et même uniformément par rapport à A) et sont égales.
On peut donner alors la définition suivante :
Définition. Une fonction fortement mesurable f, de Ω dans X, est dite intégrable au sens de Bochner (ou B-intégrable) s'il existe une suite (f n)n de fonctions simples qui converge vers f presque partout et telle que :
Par définition, on pose alors :
Théorème. Une fonction fortement mesurable f de Ω dans X est B-intégrable si et seulement si ∫Ω ∥f (ω)∥dμ < + ∞ ; dans ce cas, on a de plus l'inégalité :
De la même façon que pour les fonctions à valeurs réelles ou complexes, on définit l'espace L1(Ω, T, μ, X) des classes de fonctions B-intégrables de Ω dans E (cf. intégration et mesure, chap. 4), ainsi que les espaces Lp (Ω, T, μ, X), où 1 ≤ p ≤ + ∞.
Mesures à valeurs vectorielles
Soit (Ω, T) un espace mesurable et X un espace de Banach. Une application F de T dans X est une mesure si elle τ-additive : pour toute suite (Ai)i d'éléments deux à deux disjoints de T :
Notons |F| l'application de T dans R+ définie par :
On peut montrer que, pour que F soit μ-continue, il faut et il suffit que, pour tout élément A de T tel que μ(A) = 0, on ait aussi F(A) = 0.
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Théorème. Soit f un élément[...]
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Écrit par
- Robert ROLLAND : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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