EUCLIDE (IV^e-III^e s. av. J.-C.)

L'œuvre euclidienne

Il reste de l'œuvre euclidienne les treize livres des Éléments, les Données, les Phénomènes, la Division du canon, et l'Optique. Sont encore accessibles une Catoptrique, une Introduction harmonique et un fragment Du léger et du lourd, mais ces trois derniers ouvrages sont considérés comme apocryphes.

On connaît une version arabe de la Division des figures et Pappus signale trois livres sur les Porismes, deux livres sur les Lieux à la surface et quatre livres sur les Coniques. C'est à propos de ce dernier travail qu'Euclide est cité par Appollonios.

Euclide traite de la géométrie plane dans les quatre premiers livres des Éléments ainsi qu'au livre VI et dans les Données. Appartient au même domaine la Division des figures, traité élémentaire dont le thème est la division d'une aire polygonale ou circulaire, dans un rapport donné, par une droite de direction donnée ou passant par un point donné. Le traité des Porismes, consacré aussi à la géométrie plane, se situe à un niveau très supérieur. Il se rattache à la géométrie projective et, en particulier, à la division harmonique.

Le livre I^er des Éléments est précédé de définitions, de « notions communes » ou axiomes, et de cinq demandes ou postulats, dont le plus célèbre est le dernier : « Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. » C'est le célèbre « postulat d'Euclide ». Il était nécessaire pour appliquer le raisonnement mathématique à la géométrie. On sait aujourd'hui que plusieurs géométries élémentaires sont possibles ; mais, pour que les géométries non euclidiennes soient utilisables, il faut pouvoir employer les fonctions circulaires et hyperboliques. Les Grecs, qui ne disposaient que de l'algèbre babylonienne adaptée à leur géométrie, devaient ou admettre le postulat, ou abandonner toute recherche scientifique dans ce domaine. Ne pas tenter de le démontrer, ni de le considérer comme évident est le fait d'un mathématicien très profond ; ainsi apparaît pour la première fois la méthode axiomatique.

Le livre I^er commence par la construction du triangle équilatéral et se termine par le théorème de Pythagore. Le deuxième livre s'occupe des fondements de l'algèbre géométrique des Grecs. Le livre III, toujours élémentaire, traite des propriétés du cercle. Le livre IV étudie l'inscription dans le cercle des premiers polygones réguliers, et leur circonscription. Le cinquième livre, très beau et difficile, n'est véritablement compris que depuis la fin du xix^e siècle. Il est consacré à la notion du rapport, et a servi de modèle à R. Dedekind pour sa théorie du continu (1872). Ce n'est que sur de très faibles témoignages qu'on veut l'attribuer à Eudoxe. Le livre VI fait un retour à la géométrie et étudie la similitude dans le plan. Les livres VII, VIII et IX forment le traité le plus ancien de théorie des nombres. On y trouve les notions de plus grand commun diviseur, de nombre premier et de nombre parfait. Le livre X, fort long, de lecture difficile aujourd'hui, étudie les irrationnelles quadratiques. Le mot « binôme » est le seul terme mathématique qui subsiste, au travers d'une traduction latine, de ce volumineux traité. C'est sur son modèle qu'ont été forgées ultérieurement les expressions « trinôme », « polynôme ». Avec le livre XI commence la géométrie dans l'espace. Le livre XII, consacré à l'aire du cercle et aux volumes des pyramides, cônes, cylindres et sphères est, au témoignage d'Archimède, l'œuvre d'Eudoxe. Quant au livre XIII, il est réservé aux polyèdres réguliers ou corps platoniciens. Un livre XIV, postérieur, est dû à Hypsiclès ([...]