EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Logarithmes

Définition

Il n'existe pas de fonction rationnelle admettant pour dérivée 1/x ; pourtant, cette fonction est définie et continue pour x > 0, et, par suite (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 5), elle admet des primitives dans cet intervalle. Ces primitives constituent donc de « nouvelles » fonctions dont nous allons étudier les propriétés. Elles diffèrent toutes entre elles d'une constante, et il suffit d'en examiner une.

Logarithme népérien - crédits : Encyclopædia Universalis France — Logarithme népérien
Encyclopædia Universalis France

On appelle logarithme népérien ou naturel la primitive de 1/x dans ]0, ∞[ qui s'annule pour x = 1, soit :

ainsi, c'est une fonction dérivable, de dérivée 1/x. Géométriquement, si x > 1, c'est la mesure de l'aire comprise entre l'hyperbole d'équation Y = 1/X et les deux droites X = 1 et X = x ; on a donc ln x < 0 pour 0 < x < 1 et ln x > 0 pour x > 1. On utilisera dans l'ouvrage la notation normalisée anglo-saxonne ln x.

Établissons dès maintenant la propriété fondamentale du logarithme népérien : c'est un homomorphisme (en fait, comme on le verra ci-dessous, un isomorphisme) du groupe multiplicatif R*₊ dans le groupe additif R. Soit y un nombre réel positif ; la fonction f (x) = ln xy a la même dérivée que la fonction ln x :

et, par suite, ces deux fonctions diffèrent d'une constante, soit :

faisant x = 1, on a k = ln y, d'où la relation fonctionnelle :

On en déduit immédiatement, pour tout entier n ∈ Z,

plus généralement, avec la convention des exposants fractionnaires ; si α = p/q, q > 0, rappelons que, par définition, xα = √ x^p ; on a donc :

D'autre part, si x et y sont des nombres positifs quelconques, on a y(x/y) = x, d'où :

Comportement et graphe

La fonction logarithme népérien est strictement croissante pour x > 0, car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle.

Étudions le comportement du logarithme lorsque x tend vers l'infini. Pour tout entier n, on a :

si A est un nombre positif, soit N un entier plus grand que A/(ln 2). Pour x > 2^N = B, on a :

ce qui montre que :

On en déduit facilement le comportement de ln x pour x tendant vers 0 par valeurs positives ; si A est un réel positif, on a, pour le même choix de N que ci-dessus,

ainsi :

Fonction y = Log x - crédits : Encyclopædia Universalis France — Fonction y = Log x
Encyclopædia Universalis France

Précisons le comportement de ln x en montrant que cette quantité est asymptotiquement négligeable devant x pour x tendant vers l'infini. En effet, pour t ≥ 1, on a par exemple :

d'où, pour x ≥ 1,

ainsi : ln x/x < 2/√ x, ce qui entraîne bien :

Toutes ces propriétés permettent de tracer le graphe de L. On peut préciser le tracé en remarquant que la fonction est concave, car sa dérivée seconde −1/x² est négative ; la tangente au point d'abscisse 1 est de pente égale à 1, ce qui équivaut à :

on exprime cela en disant que ln (1 + x) est équivalent à x pour x tendant vers 0 (cf. calculs asymptotiques). On peut préciser le comportement de ln (1 + x) au voisinage de x = 0 par le développement en série :

valable pour |x| < 1, qui s'obtient en intégrant terme à terme la série géométrique :

dont la somme est égale à la dérivée 1/(1 + x) de ln (1 + x).

C'est à partir de cette série que l'on peut calculer les valeurs numériques des logarithmes (cf. calcul numérique). En définitive, le logarithme népérien L : R*₊ → R est continu, strictement croissant et tend vers − ∞ et + ∞ pour x tendant vers 0 (par valeurs supérieures) et vers + ∞ respectivement ; d'après le théorème d'inversion (cf. chap. 1) c'est donc une bijection, c'est-à-dire un isomorphisme (continu) du groupe multiplicatif des nombres réels positifs sur le groupe additif de tous les nombres réels. La bijection réciproque est un isomorphisme du groupe [...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Médias

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France — Fonction exponentielle

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