EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Exponentielles réelles

On va maintenant définir la fonction exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien.

La fonction exponentielle

On appelle fonction exponentielle l'isomorphisme E : R → R*₊, réciproque du logarithme népérien ; ainsi, pour tout nombre réel x, E(x) = exp x est l'unique nombre réel > 0 dont le logarithme népérien est égal à x, soit :

cela entraîne aussi, par composition de L et E que, pour tout x ∈ R et pour tout y ∈ R*₊, on a :

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France — Fonction exponentielle
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Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante et dérivable de dérivée toujours non nulle, il en est de même de la fonction exponentielle ; son graphe est le symétrique du graphe de L par rapport à la première bissectrice d'équation y = x.

La dérivée en x de la fonction exponentielle est l'inverse de la dérivée de la fonction logarithme népérien au point y = exp x soit :

Plus précisément, la fonction exponentielle est l'unique solution sur R du problème de Cauchy :

ainsi la fonction exponentielle est indéfiniment dérivable et égale à toutes ses dérivées. La formule de Taylor en 0 s'écrit ici (cf. calcul infinitésimal Calcul à une variable, formule 47) :

qui, pour tout x, tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En effet, pour tout x, la suite u_p = x^p/p ! vérifie u_p₊₁/u_p = x/(p + 1), qui est inférieur à 1/2 en valeur absolue pour p assez grand, disons p ≥ P ; pour p ≥ P, on a donc |u_p₊₁| ≤ (1/2)^p-P, ce qui montre que la suite u_p tend vers 0 pour p tendant vers + ∞. Ainsi, E(x) est, pour tout x ∈ R, la somme de sa série de Taylor, soit :

Pour x → + ∞, on déduit facilement de (7) le comportement asymptotique :

Soit enfin une dernière propriété de la fonction exponentielle. Pour tout entier n :

puisque :

cela conduit à la formule :

ce type de raisonnement (dû en substance à Euler) demande, bien entendu, à être établi rigoureusement, par exemple par les développements limités.

Le nombre e

Pour x = 1, E(1) = e, base des logarithmes népériens. Ce nombre est la somme de la série :

c'est aussi la limite de l'expression :

pour n tendant vers l'infini.

Une valeur approchée de e, à 10^-24 près, est :

Si n est un entier relatif, on a E(n) = eⁿ, puisque ln eⁿ = n ln e = n. Plus généralement, si x = p/q, q > 0, est un nombre rationnel, on a :

avec la convention des exposants fractionnaires (cf. nombres réels). Ainsi, la fonction exponentielle est un prolongement continu à R tout entier de l'application x ↦ e^x de Q dans R₊* définie par la convention des exposants fractionnaires ; cela conduit à généraliser cette notation en posant par définition :

pour tout réel x ; le fait que l'exponentielle est un homomorphisme de groupe s'écrit maintenant :

formule valable pour x et y réels quelconques.

Trigonométrie hyperbolique

Introduisons maintenant les fonctions hyperboliques, qui jouent pour la géométrie du plan hyperbolique le même rôle que les fonctions circulaires pour le plan euclidien (cf. groupes - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Pour tout nombre réel x, on appelle cosinus hyperbolique de x, sinus hyperbolique de x et tangente hyperbolique de x respectivement les nombres :

remarquons que le cosinus hyperbolique est une fonction paire, tandis que les deux autres sont des fonctions impaires.

Un calcul simple montre que l'on a :

pour tout x ; si a et b sont deux nombres réels la propriété (16) de la fonction exponentielle entraîne les formules d'addition suivantes :

Par dérivation dans (17), on obtient facilement :

Puisque ch x ≥ 1, il en résulte que sh x est une application strictement croissante de R dans R et on voit que sh x tend vers − ∞ et + ∞ pour x tendant vers − ∞ et + ∞ respectivement : cette fonction réalise donc une bijection de [...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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