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EXPONENTIELLE & LOGARITHME

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Exponentielles réelles

On va maintenant définir la fonction exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien.

La fonction exponentielle

On appelle fonction exponentielle l'isomorphisme E : R → R*+, réciproque du logarithme népérien ; ainsi, pour tout nombre réel x, E(x) = exp x est l'unique nombre réel > 0 dont le logarithme népérien est égal à x, soit :

cela entraîne aussi, par composition de L et E que, pour tout x ∈ R et pour tout y ∈ R*+, on a :

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle

Encyclopædia Universalis France

Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante et dérivable de dérivée toujours non nulle, il en est de même de la fonction exponentielle ; son graphe est le symétrique du graphe de L par rapport à la première bissectrice d'équation y = x.

La dérivée en x de la fonction exponentielle est l'inverse de la dérivée de la fonction logarithme népérien au point y = exp x soit :

Plus précisément, la fonction exponentielle est l'unique solution sur R du problème de Cauchy :
ainsi la fonction exponentielle est indéfiniment dérivable et égale à toutes ses dérivées. La formule de Taylor en 0 s'écrit ici (cf. calcul infinitésimal Calcul à une variable, formule 47) :
qui, pour tout x, tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En effet, pour tout x, la suite up = xp/p  ! vérifie up+1/up = x/(p + 1), qui est inférieur à 1/2 en valeur absolue pour p assez grand, disons p ≥ P ; pour p ≥ P, on a donc |up+1| ≤ (1/2)p-P, ce qui montre que la suite up tend vers 0 pour p tendant vers + ∞. Ainsi, E(x) est, pour tout x ∈ R, la somme de sa série de Taylor, soit :
Pour x → + ∞, on déduit facilement de (7) le comportement asymptotique :

Soit enfin une dernière propriété de la fonction exponentielle. Pour tout entier n :

puisque :
cela conduit à la formule :
ce type de raisonnement (dû en substance à Euler) demande, bien entendu, à être établi rigoureusement, par exemple par les développements limités.

Le nombre e

Pour x = 1, E(1) = e, base des logarithmes népériens. Ce nombre est la somme de la série :

c'est aussi la limite de l'expression :
pour n tendant vers l'infini.

Une valeur approchée de e, à 10-24 près, est :

Si n est un entier relatif, on a E(n) = en, puisque ln en = n ln e = n. Plus généralement, si x = p/q, q > 0, est un nombre rationnel, on a :

avec la convention des exposants fractionnaires (cf. nombres réels). Ainsi, la fonction exponentielle est un prolongement continu à R tout entier de l'application x ↦ ex de Q dans R+* définie par la convention des exposants fractionnaires ; cela conduit à généraliser cette notation en posant par définition :
pour tout réel x ; le fait que l'exponentielle est un homomorphisme de groupe s'écrit maintenant :
formule valable pour x et y réels quelconques.

Trigonométrie hyperbolique

Introduisons maintenant les fonctions hyperboliques, qui jouent pour la géométrie du plan hyperbolique le même rôle que les fonctions circulaires pour le plan euclidien (cf. groupes - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Pour tout nombre réel x, on appelle cosinus hyperbolique de x, sinus hyperbolique de x et tangente hyperbolique de x respectivement les nombres :

remarquons que le cosinus hyperbolique est une fonction paire, tandis que les deux autres sont des fonctions impaires.

Un calcul simple montre que l'on a :

pour tout x ; si a et b sont deux nombres réels la propriété (16) de la fonction exponentielle entraîne les formules d'addition suivantes :

Par dérivation dans (17), on obtient facilement :

Puisque ch x ≥ 1, il en résulte que sh x est une application strictement croissante de R dans R et on voit que sh x tend vers − ∞ et + ∞ pour x tendant vers − ∞ et + ∞ respectivement : cette fonction réalise donc une bijection de[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Logarithme népérien - crédits : Encyclopædia Universalis France

Logarithme népérien

Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x

Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle

Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • BRIGGS HENRY (1561-1630)

    • Écrit par
    • 745 mots

    Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par
    • 11 467 mots
    • 3 médias
    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci.

  • CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

    • Écrit par
    • 358 mots

    Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X....

  • EULER LEONHARD (1707-1783)

    • Écrit par et
    • 2 759 mots
    • 1 média
    Leonhard Euler - crédits : Fine Art Images/ Heritage Images/ Getty Images
    ...contraire tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ...
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Voir aussi

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