EXPONENTIELLE & LOGARITHME
Développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires
Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), L. Euler définit l'exponentielle complexe par la formule :
En particulier :
Cette formule, valable pour tout z ∈ C, met en évidence les zéros de la fonction sinus, tout comme la décomposition d'un polynôme comme produit de facteurs du premier degré (théorème de d'Alembert-Gauss).
Par des procédés analogues, il obtient les développements :
Cette fois, les fonctions de gauche dans les formules apparaissent comme des « fractions rationnelles de degré infini » ; au second membre figure alors la somme des parties principales, en chacun de leurs pôles, de ces fonctions (généralisation de la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples).
La théorie des fonctions analytiques fournit un cadre théorique permettant de généraliser de telles formules (décompositions de Weierstrass et de Mittag-Leffler ; cf. fonctions analytiques - Fonctions d'une variable, chap. 8).
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Logarithme népérien
Encyclopædia Universalis France
Fonction y = Log x
Encyclopædia Universalis France
Fonction exponentielle
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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BRIGGS HENRY (1561-1630)
- Écrit par Bernard PIRE
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Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci. -
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EULER LEONHARD (1707-1783)
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...tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ... - Afficher les 11 références
