HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques.

Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il obtint son doctorat à Leipzig et y enseigna de 1896 à 1902. Durant toute cette époque, Hausdorff, tout en publiant plusieurs mémoires d'astronomie, d'optique et de mathématiques, s'intéressa surtout à la philosophie, la littérature et l'art. Esprit indépendant et éclectique, il publia sous le nom de Paul Mongré deux livres de poèmes et d'aphorismes, plusieurs essais philosophiques et littéraires et écrivit une farce qui, portée sur les planches, eut un grand succès. À partir de 1904 cependant, il se pencha plus intensivement sur les mathématiques, sur la théorie des ensembles plus particulièrement, et abandonna peu à peu ses publications non scientifiques. De 1910 à 1935, il était professeur de mathématiques à l'université de Bonn, à l'exception des années 1913-1921, où il enseignait à Greifswald. Depuis sa retraite forcée, en 1935, les travaux de Hausdorff ne furent plus publiés en Allemagne. Juif, Hausdorff risqua le camp de concentration et, lorsqu'en 1942 l'internement devint imminent, il se suicida à Bonn, avec sa femme et sa belle-sœur.

Les contributions de Hausdorff au développement des mathématiques se situent dans plusieurs domaines.

Son étude approfondie des séries déboucha sur la démonstration de théorèmes sur les méthodes de sommation et les coefficients de Fourier (1921). Considérant les propriétés d'ensembles numériques, il introduisit une classe importante de mesures et, en liaison avec elles, une dimension qui peut prendre des valeurs arbitraires non négatives (1919). Il a étudié, en théorie générale des ensembles, les ensembles partiellement ordonnés et a obtenu plusieurs théorèmes sur les ensembles ordonnés (1906-1909). En théorie descriptive des ensembles, il a démontré le théorème sur la cardinalité des ensembles boréliens (1916).

Outre des résultats isolés mais profonds en topologie et en théorie des ensembles, Hausdorff a surtout, par ses Grundzüge der Mengenlehre, posé les fondements d'une discipline. Fréchet, désirant unifier la théorie des ensembles de Cantor et le traitement des fonctions comme points d'un espace tel qu'on le rencontrait alors couramment en calcul des variations, avait inauguré l'étude des espaces abstraits (1906) en introduisant la notion d'espace métrique. Il existait alors plusieurs approches à la notion d'espace topologique. Hausdorff réussit à établir des liens entre ces différentes approches et à créer une théorie des espaces topologiques et métriques englobant parfaitement les résultats antérieurs.

Il choisit de construire sa théorie des espaces abstraits sur la notion de voisinage. Sa définition d'espace topologique est exactement celle qu'on peut lire aujourd'hui dans tout manuel de topologie. Il ajouta bon nombre de résultats nouveaux à la théorie des espaces métriques, dont le plus profond est le théorème affirmant que chaque espace métrique peut être étendu d'une manière unique à un espace métrique complet. Il effectua cette extension en généralisant les constructions des réels de Méray et de Cantor. Grâce à son sens de l'équilibre et à sa grande sensibilité esthétique, Hausdorff a su donner à l'exposé de sa théorie dans Grundzüge der Mengenlehre une forme très dynamique, fournissant un formidable élan à son développement ultérieur.

Hausdorff était un professeur méthodique, mais ses cours, au contenu riche et rigoureusement structuré, passèrent[...]