FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.

Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – justement appelés „finitistes“ ou „finitaires“ – dont la compréhension et la validité seraient, par nature, non problématiques, au sens où nous ne saurions les mettre en doute sans renoncer par là même à l'exercice de nos capacités intellectuelles. L'énoncé 3 + 2 = 5, par exemple, est de cet ordre, puisque nous pouvons en vérifier la correction par un simple procédé consistant à ajouter progressivement à la suite │ │ │ les unités qu'on enlève à la suite │ │, obtenant ainsi d'abord les deux suites │ │ │ │ et │, puis la suite │ │ │ │ │ elle-même. Loin de se limiter au domaine arithmétique, ce processus de construction et de déconstruction (Aufbildung und Abbildung) est, selon Hilbert, expressif de la manière même dont procède notre pensée. Par ailleurs, Hilbert considère comme finitistes, non seulement les identités numériques du type 3 + 2 = 5, mais les énoncés généraux portant sur les nombres entiers, comme : (1) x(y + z) = xy + xz(„x“, „y“ et „z“ sont ici des „variables libres“ devant intuitivement être comprises comme „universellement quantifiées“).

Du point de vue finitiste, la preuve d'un énoncé comme (1) ne met pas en jeu la totalité infinie des entiers naturels. Elle consiste simplement en une procédure générique capable, pour n'importe quel triplet d'entiers spécifiés qui pourrait être proposé, d'établir que la distributivité de la multiplication sur l'addition s'applique à eux.

Moyennant cette interprétation, l'ensemble des énoncés finitistes coïncide avec la classe des énoncés sans variables libres, ou universellement quantifiés, formés à partir des symboles numériques et des signes pour les opérations arithmétiques élémentaires comme l'addition ou la multiplication. C'est exactement l'arithmétique aujourd'hui nommée „primitive récursive“, qui avait été définie par Albert Thoralf Skolem (1887-1963) en 1922 et caractérisée par lui comme „fondée sur le mode de pensée récurrent“.

Le finitisme, c'est-à-dire la doctrine selon laquelle seuls les énoncés finitistes au sens ci-dessus possèdent une „signification authentique“, a été l'une des doctrines les plus controversées du xx^e siècle en philosophie des mathématiques. Elle l'a été de deux points de vue successifs et antagonistes. Le premier, qui excipe de l'échec du „programme de Hilbert“, met l'accent sur l'étroitesse de la perspective finitiste dans la perspective des fondements des mathématiques. Le second souligne au contraire la part d'idéalisation résiduelle contenue dans le finitisme, et préconise une radicalisation, dite „ultrafinitiste“, des idées initiales de Hilbert.

Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel

Selon Hilbert, les paradoxes auxquels a donné lieu la théorie cantorienne des ensembles proviennent principalement du fait que l'on a utilisé inconsidérément dans le domaine des mathématiques „abstraites“ ou „infinitaires“ des arguments et des modes d'inférence qui sont indiscutablement valides dans le domaine fini, mais dont l'extension ailleurs peut être génératrice de contradictions. Néanmoins, et à l'inverse, par exemple, de ce que proposent les „intuitionnistes“, Hilbert ne préconise pas de restreindre les mathématiques à leur partie constructive. Une fois formalisées, les mathématiques abstraites peuvent être considérées comme réduites à un ensemble de symboles dénués de sens, ensemble dont les éléments possèdent les mêmes propriétés de concrétude que les symboles sur lesquels porte l'arithmétique finitiste. En particulier, la question de savoir si une suite de symboles est bien une démonstration formalisée est tout à fait analogue à la question de savoir si un entier est premier. Ce sont des questions mécaniquement décidables, à propos desquelles les méthodes finitistes s'appliquent sans aucune espèce de doute. De même, l'énoncé qui affirme la cohérence d'une théorie formalisée est un énoncé finitiste : il affirme, de tout assemblage x qui est une démonstration dans cette théorie, qu'il ne se termine pas par la formule „0 = 1“. Autrement dit, le domaine finitiste contient, en principe, tous les concepts et les raisonnements qui peuvent être utilisés pour examiner les propriétés „syntaxiques“ des théories mathématiques, c'est-à-dire les propriétés qui ne dépendent que de la forme des symboles qui y figurent, par opposition aux propriétés, comme la „vérité“, qui dépendent de la référence associée à ces symboles. Avec le finitisme viennent, non seulement un fragment élémentaire de l'arithmétique, mais la totalité de la syntaxe et, plus généralement, tout le domaine de l'algorithmique et de la calculabilité.

Or, pour prétendre au titre de perspective „fondationnelle“ comme le souhaitait Hilbert, le finitisme devrait au moins se référer à une strate d'énoncés „épistémiquement stable“ : tout énoncé finitiste vrai (respectivement faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique de Giuseppe Peano (1858-1932), qui contient présumablement la totalité des méthodes finitistes de démonstration, est incapable (à moins qu'elle ne soit elle-même incohérente), de démontrer sa propre cohérence. Ce résultat, d'une certaine manière, scelle l'échec du finitisme : Hilbert avait délimité de manière trop étroite le socle des énoncés et des méthodes „indubitables“ sur la base desquelles les questions relatives aux fondements des mathématiques pouvaient être abordées.

Comment élargir le finitisme pour former une conception qui, tout en restant „élémentaire“, permettrait de prouver la cohérence de larges parts des mathématiques ? Des nombreuses suggestions suivies dans cette direction, celle qui a le plus retenu l'attention est probablement celle qui a été formulée par Gödel en 1958, dans son „Interprétation Dialectica“. Gödel, se demandant s'il ne serait pas possible de distinguer entre le finitisme et des raisonnements plus généraux capables d'être qualifiés de „constructifs“, propose d'en finir avec la limitation du finitisme à la considération de domaines d'objets „concrets“ comme les assemblages de symboles, et d'admettre librement la notion générale „abstraite“ d'application entre domaines composés de tels objets. En bref, là où Hilbert se limite à une combinatoire d'objets en principe perceptibles, Gôdel fait droit, plus libéralement, aux constructions mentales et à des entités non directement visualisables. Bien que cet „élargissement méthodique“ du point de vue finitiste ait donné des résultats spectaculaires en théorie de la démonstration, le programme modifié manque évidemment de la beauté architectonique du programme original de Hilbert.