FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.

Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – justement appelés „finitistes“ ou „finitaires“ – dont la compréhension et la validité seraient, par nature, non problématiques, au sens où nous ne saurions les mettre en doute sans renoncer par là même à l'exercice de nos capacités intellectuelles. L'énoncé 3 + 2 = 5, par exemple, est de cet ordre, puisque nous pouvons en vérifier la correction par un simple procédé consistant à ajouter progressivement à la suite │ │ │ les unités qu'on enlève à la suite │ │, obtenant ainsi d'abord les deux suites │ │ │ │ et │, puis la suite │ │ │ │ │ elle-même. Loin de se limiter au domaine arithmétique, ce processus de construction et de déconstruction (Aufbildung und Abbildung) est, selon Hilbert, expressif de la manière même dont procède notre pensée. Par ailleurs, Hilbert considère comme finitistes, non seulement les identités numériques du type 3 + 2 = 5, mais les énoncés généraux portant sur les nombres entiers, comme : (1) x(y + z) = xy + xz(„x“, „y“ et „z“ sont ici des „variables libres“ devant intuitivement être comprises comme „universellement quantifiées“).

Du point de vue finitiste, la preuve d'un énoncé comme (1) ne met pas en jeu la totalité infinie des entiers naturels. Elle consiste simplement en une procédure générique capable, pour n'importe quel triplet d'entiers spécifiés qui pourrait être proposé, d'établir que la distributivité de la multiplication sur l'addition s'applique à eux.

Moyennant cette interprétation, l'ensemble des énoncés finitistes coïncide avec la classe des énoncés sans variables libres, ou universellement quantifiés, formés à partir des symboles numériques et des signes pour les opérations arithmétiques élémentaires comme l'addition ou la multiplication. C'est exactement l'arithmétique aujourd'hui nommée „primitive récursive“, qui avait été définie par Albert Thoralf Skolem (1887-1963) en 1922 et caractérisée par lui comme „fondée sur le mode de pensée récurrent“.

Le finitisme, c'est-à-dire la doctrine selon laquelle seuls les énoncés finitistes au sens ci-dessus possèdent une „signification authentique“, a été l'une des doctrines les plus controversées du xx^e siècle en philosophie des mathématiques. Elle l'a été de deux points de vue successifs et antagonistes. Le premier, qui excipe de l'échec du „programme de Hilbert“, met l'accent sur l'étroitesse de la perspective finitiste dans la perspective des fondements des mathématiques. Le second souligne au contraire la part d'idéalisation résiduelle contenue dans le finitisme, et préconise une radicalisation, dite „ultrafinitiste“, des idées initiales de Hilbert.

Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel

Selon Hilbert, les paradoxes auxquels a donné lieu la théorie cantorienne des ensembles proviennent principalement du fait que l'on a utilisé inconsidérément dans le domaine des mathématiques „abstraites“ ou „infinitaires“ des arguments et des modes d'inférence qui sont indiscutablement valides dans le domaine fini, mais dont l'extension ailleurs peut être génératrice de contradictions. Néanmoins, et à l'inverse, par exemple, de ce que proposent les „intuitionnistes“, Hilbert ne préconise pas de restreindre les mathématiques à leur partie constructive. Une fois formalisées, les mathématiques abstraites peuvent être considérées comme réduites à un ensemble de symboles dénués[...]