FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

L'ultrafinitisme

À l'inverse de l'élargissement du finitisme préconisé par Gödel, certains auteurs ont mis en avant les idéalisations résiduelles du point de vue de Hilbert, et on préconisé le passage à un „finitisme strict“ ou „ultrafinitisme“. En matière de représentabilité dans l'intuition, il est en effet clair qu'un nombre comme 10¹⁰⁰⁰ est problématique et que, de manière plus générale, lorsqu'on adopte le point de vue de ce qui est „humainement“ ou „pratiquement“ „faisable“, les principes du finitisme hilbertien paraissent hautement idéalisés. Ce point de vue se heurte néanmoins au paradoxe suivant, similaire à l'antique paradoxe du „tas“ et rebaptisé par Michael Dummett (né en 1925) „paradoxe de Wang“ : puisque 0 est certainement un nombre „cognitivement accessible“ et qu'il n'y a pas de raison de supposer que le successeur d'un nombre accessible soit inaccessible, aucun nombre ne devrait être considéré comme inaccessible. C'est pour l'essentiel contre ce paradoxe qu'un ultrafinitisme digne de considération devrait se prémunir. La question de savoir si la chose est possible reste encore largement ouverte aujourd'hui.