GAMMA FONCTION

Interprétation par la théorie des groupes

Le corps R des nombres réels est localement compact et les caractères du groupe additif R (cf. analyse harmonique, chap. 4) sont de la forme :

La composante connexe du groupe multiplicatif du corps R est le groupe R*₊, dont la mesure invariante est dt/t. Les caractères du groupe multiplicatif sont de la forme :

Si on cherche à décomposer un caractère additif selon les caractères du groupe multiplicatif, on est conduit à étudier l'intégrale sur R*₊ (transformée de Laplace, appelée aussi transformée de Mellin) :

qui converge pour Re s > 0 et Re u > 0. Le changement de variable ut = x joint à une intégration dans le champ complexe suivant le contour indiqué dans la , suivi d'un passage à la limite pour ε → 0 et R → + ∞ (on applique le théorème de Cauchy), conduit à la relation :où u^s = exp (sln u), en désignant par ln u la détermination principale du logarithme.

Le point de vue précédent montre l'analogie entre la fonction gamma et les sommes de Gauss, en arithmétique, où on considère l'anneau fini Z/nZ des entiers modulo n et le groupe multiplicatif G_n de ses éléments inversibles. Ces deux cas relèvent de l'analyse harmonique dans les anneaux localement compacts (cf. théorie des nombres [nombres algébriques]).

La formule (17) permet en outre d'exprimer les caractères du monoïde multiplicatif N, à savoir :

à l'aide des caractères t ↦ e^-nt du groupe additif R par la formule :

On en déduit qu'une série de Dirichlet peut s'écrire comme transformée de Mellin d'une série entière :

La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme :qui est à la base de la théorie de Riemann (cf. fonction zêta).