ZÊTA FONCTION

Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques

R.  Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k, en prenant :

où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où Na est la norme de l'idéal a, c'est-à-dire le nombre d'éléments de o/a (où o est l'anneau des entiers de k) et où χ est un caractère du groupe des idéaux ≠ 0 (pour χ = 1, on a la fonction zêta). E. Hecke put établir que ces fonctions sont méromorphes et vérifient des équations fonctionnelles analogues à (3). Il introduisit d'autres fonctions L à l'aide de caractères plus généraux que ceux de Dedekind et put encore, au prix de calculs difficiles, prouver l'existence d'équations fonctionnelles. Dans sa thèse de 1950, J.  Tate a montré comment la théorie des idèles permet une exposition simple et unifiée de tous ces travaux qui, en définitive, peuvent être fondés sur la transformation de Fourier dans le groupe des adèles de k (rappelons que la propriété (6) est une conséquence de la formule de Poisson de la théorie de Fourier classique). Dans la théorie de Tate, on considère d'une part le groupe additif k_A des adèles de k et sa mesure de Haar da, normalisée de sorte que k_A/k ait pour mesure 1 ; il y a sur k_A un caractère λ : k_A→ T = R/Z tel que l'application :

identifie k_A à son dual de Pontriaguine. La transformée de Fourier d'une fonction intégrable sur k_A est alors donnée par :

et on a la formule d'inversion habituelle (F(Ff ))(a) = f (− a) si f est suffisamment régulière. On considère d'autre part le groupe multiplicatif des idèles k*_A et sa mesure de Haar d*a. On appelle quasi-caractère de k*_A un homomorphisme continu c : k*_A→ C* qui est égal à 1 sur k* (de sorte qu'il s'agit en fait d'un homomorphisme dans C* du groupe k*_A/k^* des classes d'idèles). Pour un tel quasi-caractère c, il y a un nombre réel μ bien déterminé tel que l'on ait |c(a)|=|a|^μ pour tout idèle a ; on dit que c'est l'exposant de c. Pour des « fonctions poids » f : k_A→ C satisfaisant à certaines conditions de régularité, on pose alors :

intégrale qui a un sens pour tout quasi-caractère d'exposant > 1.

Un quasi-caractère peut toujours s'écrire (de plusieurs manières) c(a) = χ(a)|a|^s, où χ est un caractère de k*_A/k^* (« Grössencharakter » dans la terminologie de Hecke) et s un nombre complexe ; deux quasi-caractères correspondant au même caractère χ sont dits équivalents ; l'ensemble des quasi-caractères équivalents à un quasi-caractère donné a donc une structure complexe et l'on peut parler de « prolongement analytique » d'une fonction holomorphe dans un ensemble ouvert de l'ensemble des quasi-caractères.

Le théorème fondamental de Tate est alors que, pour une fonction poids f donnée, la fonction c ↦ ζ(f, c), définie seulement pour les quasi-caractères d'exposant > 1, se prolonge en une fonction méromorphe sur l'ensemble de tous les quasi-caractères ; ses seuls pôles sont le caractère trivial χ₀ : a ↦ 1 et le quasi-caractère « module » N : a ↦ |a|, avec des résidus respectivement égaux à β ( f (0) et − β ( F f (0), où β est le volume de k*_A/k* pour la mesure de Haar additive da. Enfin, on a l'équation fonctionnelle :

où ĉ est le quasi-caractère ĉ(a) = |a|(c(a))^-1 (de sorte que ĉ̂ = c). La démonstration est une adaptation facile de celle de Riemann rappelée plus haut ; on décompose l'intégrale (10) en deux autres, étendues respectivement aux idèles tels que |a| ≤ 1 et aux idèles tels que |a| ≥ 1, et on ramène la première au domaine |a| ≥ 1 par changement de variable et utilisation de la formule générale de Poisson de l'analyse harmonique.

Pour retrouver à partir du théorème de Tate les résultats de Hecke et de Dedekind, on spécialise la fonction poids ; on prend :

où, pour chaque place v de k, a_v est le composant de l'idèle a dans le corps local k_v et f_v une fonction convenable sur k_v. D'autre part, si l'on a c(a) = χ(a)|a|^s, on désigne par S_χ l'ensemble fini des places de k formé des places infinies et des places finies où χ prend des valeurs ≠ 1 dans le groupe des unités de k_v. Alors, si l'on pose :

on trouve l'égalité ζ(f, c) = Φ(s)L(s, χ) où Φ(s) est un produit de fonctions de la forme s ↦ Γ(αs + β)^m, expression dans laquelle α et β sont des constantes complexes et m un entier rationnel, et de fonctions rationnelles par rapport à un certain nombre de puissances ρ^s, où les ρ sont des constantes non nulles. L'équation fonctionnelle (11) se réduit alors à l'équation de Hecke pour la fonction L.