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ZÊTA FONCTION

Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques

R.  Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k, en prenant :

où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où Na est la norme de l'idéal a, c'est-à-dire le nombre d'éléments de o/a (où o est l'anneau des entiers de k) et où χ est un caractère du groupe des idéaux ≠ 0 (pour χ = 1, on a la fonction zêta). E. Hecke put établir que ces fonctions sont méromorphes et vérifient des équations fonctionnelles analogues à (3). Il introduisit d'autres fonctions L à l'aide de caractères plus généraux que ceux de Dedekind et put encore, au prix de calculs difficiles, prouver l'existence d'équations fonctionnelles. Dans sa thèse de 1950, J.  Tate a montré comment la théorie des idèles permet une exposition simple et unifiée de tous ces travaux qui, en définitive, peuvent être fondés sur la transformation de Fourier dans le groupe des adèles de k (rappelons que la propriété (6) est une conséquence de la formule de Poisson de la théorie de Fourier classique). Dans la théorie de Tate, on considère d'une part le groupe additif kA des adèles de k et sa mesure de Haar da, normalisée de sorte que kA/k ait pour mesure 1 ; il y a sur kA un caractère λ : kA → T = R/Z tel que l'application :
identifie kA à son dual de Pontriaguine. La transformée de Fourier d'une fonction intégrable sur kA est alors donnée par :
et on a la formule d'inversion habituelle (F(Ff ))(a) = f (− a) si f est suffisamment régulière. On considère d'autre part le groupe multiplicatif des idèles k*A et sa mesure de Haar d*a. On appelle quasi-caractère de k*A un homomorphisme continu c : k*A → C* qui est égal à 1 sur k* (de sorte qu'il s'agit en fait d'un homomorphisme dans C* du groupe k*A/k* des classes d'idèles). Pour un tel quasi-caractère c, il y a un nombre réel μ bien déterminé tel que l'on ait |c(a)|=|a|μ pour tout idèle a ; on dit que c'est l'exposant de c. Pour des « fonctions poids » f : kA → C satisfaisant à certaines conditions de régularité, on pose alors :
intégrale qui a un sens pour tout quasi-caractère d'exposant > 1.

Un quasi-caractère peut toujours s'écrire (de plusieurs manières) c(a) = χ(a)|a|s, où χ est un caractère de k*A/k* (« Grössencharakter » dans la terminologie de Hecke) et s un nombre complexe ; deux quasi-caractères correspondant au même caractère χ sont dits équivalents ; l'ensemble des quasi-caractères équivalents à un quasi-caractère donné a donc une structure complexe et l'on peut parler de « prolongement analytique » d'une fonction holomorphe dans un ensemble ouvert de l'ensemble des quasi-caractères.

Le théorème fondamental de Tate est alors que, pour une fonction poids f donnée, la fonction c ↦ ζ(f, c), définie seulement pour les quasi-caractères d'exposant > 1, se prolonge en une fonction méromorphe sur l'ensemble de tous les quasi-caractères ; ses seuls pôles sont le caractère trivial χ0 : a ↦ 1 et le quasi-caractère « module » N : a ↦ |a|, avec des résidus respectivement égaux à β ( f (0) et − β ( F f (0), où β est le volume de k*A/k* pour la mesure de Haar additive da. Enfin, on a l'équation fonctionnelle :

où ĉ est le quasi-caractère ĉ(a) = |a|(c(a))-1 (de sorte que ĉ̂ = c). La démonstration est une adaptation facile de celle de Riemann rappelée plus haut ; on décompose l'intégrale (10) en deux autres, étendues respectivement aux idèles tels que |a| ≤ 1 et aux idèles tels que |a| ≥ 1, et on ramène la première au domaine |a| ≥ 1 par[...]

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Autres références

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par
    • 1 319 mots
    ...l'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat...

  • BOHR HARALD (1887-1951)

    • Écrit par
    • 130 mots

    Né à Copenhague, frère du physicien Niels Bohr, Harald Bohr devint professeur à l'institut polytechnique de Copenhague, en 1915, puis à l'Université de cette ville, en 1930.

    Ses premiers travaux portent sur les séries de Dirichlet. En liaison avec E. Landau, il étudie la fonction...

  • GAMMA FONCTION

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    Graphe - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme :
    qui est à la base de la théorie de Riemann (cf....

  • HADAMARD JACQUES (1865-1963)

    • Écrit par
    • 1 401 mots
    ...L'étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème,...
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