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ZÊTA FONCTION

Fonctions zêta et fonctions L sur une variété algébrique définie sur un corps fini

Depuis les travaux de E.  Artin, on sait que tous les résultats de la théorie des nombres algébriques se transportent (avec des expressions plus simples, dues à l'absence des « places infinies ») aux « corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps fini Fq », c'est-à-dire les extensions algébriques finies du corps des fractions rationnelles Fq(X). E. Artin lui-même avait noté, sur le cas particulier des extensions quadratiques de Fq(X), que la définition de Dedekind de la fonction zêta se généralise à un tel corps k en prenant pour p toutes les places de k et pour Np le nombre d'éléments du corps résiduel de la place p. La théorie de Tate s'étend également sans difficulté.

Mais on peut considérer k comme le corps des fonctions rationnelles sur une courbe algébrique irréductible définie sur Fq ; ce point de vue amène à une nouvelle généralisation, en remplaçant la courbe par une variété algébrique X de dimension quelconque définie sur Fq. Pour simplifier, on supposera qu'il s'agit d'une variété affine, ensemble des points x = (x1, ..., xm) d'un espace Fqm, où Fq est la clôture algébrique de Fq, vérifiant un nombre fini d'équations Pα(x1, ..., xm) = 0, où les Pα sont des polynômes à coefficients dans Fq. Soit a l'idéal de l'anneau de polynômes Fq[T1, ..., Tm]engendré par les Pα. Tout point x ∈ X définit un homomorphisme Fq[T1, ..., Tm] → Fq transformant Tj en xj pour 1 ≤ j ≤ m et s'annulant dans a ; réciproquement, un tel homomorphisme correspond à un point x ∈ X et à un seul. L'image de cet homomorphisme est un corps fini, extension de Fq, ayant donc qh éléments ; on pose h = deg(x). On montre alors que le produit infini :

est, pour |t|< q-dim(x), absolument convergent et l'on définit la fonction zêta de X par :

On voit facilement que, pour tout entier n ≥ 0, il n'y a qu'un nombre fini νn de points de X tels que deg(x) = n, et on déduit de (13) l'égalité :

Le nombre νn s'interprète à l'aide de l'automorphisme de Frobenius F de X, qui à tout point (x1, ..., xm) de X fait correspondre le point (x1q, ..., xqm) ; νn est simplement le nombre des points de X fixes par Fn. Cette interprétation, d'abord introduite par A.  Weil, est à la base de tous les résultats récents obtenus sur les fonctions zêta des variétés X.

On définit de la même manière la fonction Z(X, t ) lorsque X est une variété projective sur Fq ou une variété « abstraite » au sens de A. Weil ou de J.-P. Serre. Lorsque X est une courbe projective sans singularité de genre g, F. K. Schmidt a montré en 1929 que l'on peut écrire :

où P2g est un polynôme de degré 2g, et on a l'équation fonctionnelle :
en outre, H. Hasse pour g = 1 et A. Weil pour le cas général montrèrent que les zéros de P2g sont tels que |t| = q1/2, ce qui correspond dans ce cas à l'« hypothèse de Riemann ». Pour X (projective ou non) de dimension quelconque, B. Dwork montra en 1960 que Z(X, t ) est encore une fonction rationnelle de t. Par exemple, si X = Fqm, on a ζ(X, s) = (1 − qm-s)-1. Grâce à l'introduction d'une notion de «   cohomologie » pour les variétés sur un corps quelconque, A.  Grothendieck et M. Artin ont montré que, si X est une variété projective irréductible sans singularité de dimension n sur Fq, la fonction zêta vérifie l'équation fonctionnelle généralisant (17) :
où k est la « caractéristique d'Euler-Poincaré » de X pour cette cohomologie. Mais on n'a pas encore obtenu de démonstration de l'« hypothèse de Riemann » correspondante qui serait que les zéros de Z(X, t ) soient tous[...]

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Autres références

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par
    • 1 319 mots
    ...l'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat...

  • BOHR HARALD (1887-1951)

    • Écrit par
    • 130 mots

    Né à Copenhague, frère du physicien Niels Bohr, Harald Bohr devint professeur à l'institut polytechnique de Copenhague, en 1915, puis à l'Université de cette ville, en 1930.

    Ses premiers travaux portent sur les séries de Dirichlet. En liaison avec E. Landau, il étudie la fonction...

  • GAMMA FONCTION

    • Écrit par
    • 1 580 mots
    • 2 médias
    Graphe - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme :
    qui est à la base de la théorie de Riemann (cf....

  • HADAMARD JACQUES (1865-1963)

    • Écrit par
    • 1 401 mots
    ...L'étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème,...
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